行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明.pdf

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1、第26卷第5期(2010)











河西学院学报











Vo.l26No.5(2010)行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明王兴泉(兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃
兰州
730070)摘
要:本文引入优先(或第一)极大无关组概念,指出了用初等行变换将矩阵化成行最简形矩阵的实质,同时也证明了行最简形矩阵的唯一性.最后讨论了行最简形矩阵的应用.关键词:矩阵;初等行变换;行最简形;唯一性;极大无关组;线性方程组中图分类号:O151.21

文献标识码:A

文章编号:1672-0

2、520(2010)05-0031-04矩阵是线性代数的重要研究对象,矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具.利用矩阵初等变换,可以求行列式的值,求矩阵的秩,求矩阵的逆,求向量组的秩与极大无关组,确定向量组向量间的线性关系,求解线性方程组,化二次型为标准型等.通常要将相关矩阵由初等变换化成行阶梯矩阵或行最简形矩阵.关于行阶梯矩阵及行最简形矩阵在教材[1]中有如下的叙述.在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非

3、零元,也就是非零行的第一个非零元,则称该矩阵为行阶梯矩阵.若非零行的第一个非零元为都为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0,则称该矩阵为行最简形矩阵.按此规定,对矩阵实施初等变换后,只要具备上述特点就称为行阶梯矩阵或行最简形矩阵.如果变换中既有行变换,又有列变换,其行最简形矩阵显然是不唯一的.但多数情况下我们对变换是有要求的,即只能用行变换将矩阵化成行最简形矩阵,这时行最简形矩阵就具有唯一性.教材[1]中没有明确指出是由初等行变换所得,同时对行最简形矩阵的唯一性只有一个猜想,而没有给出肯定的结论,更没有证

4、明.其他教材也大体如此,这就给教学带来某些不便,笔者就遇到过学生询问行最简形矩阵唯一性的问题.本文所述行最简形矩阵(简称行最简形)是指对矩阵实施初等行变换后所得.文[3]指出这个结论的证明并不是很容易,但文[4]已经给出了一种较简单的数学归纳法证明.本文又给出了一种新证法.例如,求矩阵的逆的一般格式为:经过一系列的初等行变换把n级矩阵A与n级单位矩阵E所-1组成n2n矩阵(A,E)中的A化为单位矩阵,则A可逆且把E化为A的逆矩阵A(否则A不可初等行变换-1-1逆),即(A,E)!(E,A).此时矩阵(E,A

5、)就是(A,E)的行最简形矩阵,其唯一性是显而易见的.再比如,求解线性方程组时,要用初等行变换将增广矩阵化成行最简形矩阵.收稿日期:2009-03-11作者简介:王兴泉(1967),男,甘肃永登人,兰州交通大学数理与软件工程学院讲师,研究方向:应用数学.∀31∀王兴泉:行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明2x1-x2-x3-x4=2x1+x2-2x3+x4=4例
求解非齐次线性方程组
.4x-6x+2x-2x=412343x+6x-9x+7x=912342
-1
-1
1
21
0
-1
0
41
1
-2

6、1
4初等行变换0
1
-1
0
3解
A=!=B,4
-6
2
-2
40
0
0
1
-33
6
-9
7
90
0
0
0
0x1=c+4x1-x3=4x2=c+3对应同解方程组为x2-x3=3,令x3=c得方程组的通解:x3=cx4=-3x4=-3x1c+414x2c+313或写成向量形式==+,其中c为任意常数.xc103x-30-34不难验证对于增广矩阵A无论作何种初等行变换,其行最简形矩阵都是相同的,即用初等行变换将矩阵化成的行最简形矩阵是具有唯一性的.事实上,它与增广矩阵列向量组的优先极大无关

7、组有关.定义
设有序向量组A:a1,a2,#am的秩是r.从第一个向量开始,依次选取所得到的极大无关组ai1,ai2,#,air(其中1
i1

8、其列向量组的优先极大无关组.上例中,设矩阵A=(a,a,a,a,a),B=(b,b,b,b,b),则B是A的行最简形1234512345矩阵.由于初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系,A与B的列向量组线性关系相同.不难看出b1=e1,b2=e2,b4=e3为B列向量组的优先极大无关组,且b3=-b1-b2,b5=4b1+3b2-3b4.与此相对应,a,a,a为A列向量组的优先极大无关组,且a=-a