正定矩阵的几种经典证明方法.pdf

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1、科技论坛正定矩阵的几种经典证明方法封京梅(陕西广播电视大学，陕西西安710119)摘要：矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究，本文主要利用特征值，单位矩阵，上三角矩阵，可逆矩阵等知识给出正定矩阵的几种证明方法和一些性质，希望能起到推广正定矩阵应用的作用。关键词：正定矩阵；可逆矩阵；特征值；主子式引言零，由归纳q法的假q设可知A。是正定矩阵，换句话说存在可逆的n一1矩阵的思想很早就已经有了

2、，至少可以追溯到汉代中国学者在级矩阵G使GAG=(E是n一1级单位矩阵)，解线性方程组时的应用上。而经过近几年的发展，矩阵论已经是代数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受到了人们的广泛关注．但是正定矩阵的证明方法一直成为我们应用正定矩阵的瓶颈，为此我们将给出几种经典的证明方法及重要性质．首先，对以下名词加以说明：①正定矩阵：实数域R上二次型刷=x'Ax，若对任意一，恐，‘‘)有cA=(0][ctf~。l’01=(∞．]，∈，Xo；0均有价。J>0，则称gx)为正定二次型，此时称A为正定矩止E时令c—GC

3、2，日一GG0=a阵。f101②主子式：在一个矩阵中取出相同的行，相同的列，其交叉位置就有cAC=lI，两边取行列式}cl一a上的元素重新组成的子矩阵的行列式叫做主子式，通常记为：【0o／由条件lAI>0，因此a>O，刮令再显然：[：】=【二刊二】，③顺序主子式的定义：子式PGO二故矩阵A与单位矩阵合同，因此A是正定矩阵或者说二次型o称为矩阵=(a)的顺序主子式。'厂(，X2，)是正定的，根据归纳法的原理，充分性得证。定理2如果A的主子式均大于零，则A为正定矩阵。④正交矩阵：T为实矩阵且有丁一7_。陧．证明：必要性：有定理

4、1显然成立。⑤反对称矩阵：若T是实矩阵且满足一_丁，则称其为反对称充分性：设A=()为正定矩阵，C阵。1证明方法A=l为A=(的任意一个m阶主子式(r~12rO，定义1实数域R上二次型l，『J_Ax，若对任意Xo=，，⋯)也“j∈，0均有f(xoJ>0，则称删为正定二次型，此时称A为正定矩作两个二次型A和yAY，阵．详细证明过程见l】1。对任意Yo=(，)≠o和=(，，⋯)∈R，Xo0定理l如果A的顺序主子式均大于零，则A为正定矩阵。其中G一恪’⋯一m，证明：必要性：f(xa,x2，⋯)=∑∑aj,x：是正定的，对于每一个

5、由于A是正定矩阵，故>o，从而’aXo=Yo。AYo>0k’l，令(而⋯)=毒害avx~xj由Y的任意性，可知。AY。是正定二次型，即l，u，由此得我们来证明fk是一个k元的正定二次型。证。对于任意一组不全为零的实数(_，)有定理3如果A的正惯性指数P=n，则A为正定矩阵。(，恐，)=∑∑t：(，X2，···，0···0，0)>0．证明：设二次型f(x：，)经过非退化线性替换后变为标准型：M+y。2++(1)因此l厂(，X2，)是正定的，由定义1可知与fk对应的矩阵的，(，X，⋯)为正定的当且仅当(1)为正定二次型，而我们

6、知道二次行列式型是正定的当且仅当>0，i=1，2⋯··，i。即正惯性指数是n。证毕，此方法说明正定二次型，(，，)的规范型是Yl+咒+Y。f．>呲一⋯定理4如果矩阵A合同于单位矩阵E，则A为正定矩阵。有定理3显然成立。肚J定理5如果矩阵A的特征值全大于零，则A为正定矩阵。即矩阵A的顺序主子式均大于零。证明：因为对任意的一个n级实对称矩阵A，都存在一个n阶正充分性：对n作数学归纳法交矩阵T，当n=l时，f(x1，I二allXl由条件oa>0，显然有f(xlJ是正定的。使得TAT=TAT成为对角矩阵。假设充分性的论断对于n一1

7、元的二次型已经成立，若A为正定矩阵，A一定为对称矩阵，现在证明n元的情形令^=a11．．l,nt：,a故存在n阶正交矩阵T，使得，一=，—⋯llA为正定矩阵当且仅当A合同于一个单位矩阵，有矩阵合同的传递性，可知，>o(i=1，2n)，得证。于是矩阵A可以分块写成Af≥an]定理6如果对于矩阵A存在非退化矩阵P，使得A=pp，则A为正定矩阵。因为A的顺序主子式全大于零，故A的顺序主子式也全大于证明：A为正定矩阵当且仅当A合同一个单位矩阵，即存在可逆(下转10页)·10·科技论坛wo。一0．868，因此拒绝域为{Ⅵ，o．868

8、)。而W一0．9472>O．868，则说明见表3。(．，：一np)样本数据未落入拒绝域中，故在。=0．01下接受原假设H。，即认为该计算统计量xz的观察值)(—一=4．831。在显著性水土样的偏离度服从正态分布。平n—o．05下查自由度为18—2—1=15的X分布表，得临界值其余9个土样可做类似的检验，