行最简形矩阵在线性代数中的重要作用_舒阿秀

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1、2014年10月廊坊师范学院学报(自然科学版)Oct．2014第14卷第5期JournalofLangfangTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Vol．14No．5行最简形矩阵在线性代数中的重要作用舒阿秀(安庆师范学院，安徽安庆246011)【摘要】利用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵，总结了行最简形矩阵在求逆矩阵、求解矩阵方程、求解线性方程组、求矩阵与向量组的秩、求向量组的极大无关组、求矩阵的特征值与特征向量等方面的关键作用，以体现其在线性代数中的重要地位。【关键词】行最简形矩阵;初等行变换;行阶梯形矩阵Impo

2、rtanceforＲowSimplestFormofMatrixinLinearAlgebraSHUA-xiu【Abstract】Usingthegeneralmethodforrowsimplestformofmatrixbyelementaryrowtransformationofmatrix，sum-marizeditskeyroleintheinversematrix，matrixequation，thesolutionoflinearequations，therankofmatrixandthevec-torgroup，maximalindepe

3、ndentsetofvectorsetc．，reflecteditsimportanceinlinearalgebra．【Keywords】rowsimplestformofmatrix;elementaryrowtransformation;rowechelonmatrix〔中图分类号〕O151〔文献标识码〕A〔文章编号〕1674－3229(2014)05－0014－04线性代数是高等理工科院校普遍开设的重要基定义1一个矩阵若满足以下两个条件，则称础课程之一，它不仅是继续学习其他数学课程的基之为行阶梯形矩阵。础，更是学生学习相关专业课程的重要语言和工具。

4、(1)零行(若有的话)全在下方;通过线性代数的学习，可以培养学生的抽象思维能(2)每一个非零行的首非零元必在前一行首非力、逻辑推理能力、数值计算能力和空间想象能力零元的右方。等。这门课程抽象性、逻辑性较强，要求学生掌握的例如矩阵:基本运算较多，课时一般又较短，因此，对大多数初æ0120öæ121－12ö学者而言，要在计划学时内掌握好这些基本运算是A=ç0001÷，B=ç00102÷，ç÷ç÷件较困难的事情。然而当我们学完整门课程再进行è0000øè00023ø总结时，会发现矩阵理论是线性代数的主要内容和æ21357ö重要基础，矩阵作为解线性方程组的重要工具

5、已渗ç03021÷C=ç÷。透到各章内容之中，把线性代数各章节贯串成为一ç01200÷ç÷个整体。而如何化已知矩阵为行阶梯形矩阵或行最è00000ø简形矩阵几乎贯穿线性代数各章节的始终，在求逆其中矩阵A，B均为行阶梯形矩阵，而矩阵C并矩阵、求解矩阵方程、求解线性方程组、求矩阵与向非行阶梯形矩阵。量组的秩、求向量组的极大无关组等很多方面，都起定义2一个行阶梯形矩阵若满足:到了重要的作用。本文主要针对行最简形矩阵的化(1)每个非零行的首非零元均为1;法及其重要作用进行相关分析，以促进学生对矩阵(2)每个非零行的首非零元所在列的其余元素本身及相关知识的理解，更好

6、地掌握这门基础课程。均为零，则称其为行最简形矩阵。［收稿日期］2014－08－30［基金项目］安庆师范学院青年科研基金项目(KJ201020)［作者简介］舒阿秀(1977－)，女，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院副教授，研究方向:偏微分方程。·14·第14卷·第5期舒阿秀:行最简形矩阵在线性代数中的重要作用2014年10月例如上述矩阵A也是行最简形矩阵，但矩阵Bæ01031－1ö是非行最简形矩阵。r2+(－2)r1ç00－312－1÷→ç÷ç002－1－13÷1化矩阵为行最简形矩阵ç÷è0002－2－4ø利用数学归纳法不难证明，任意矩阵Am×

7、n均可æ01031－1ö以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最r2+r3ç00－1012÷→ç÷简形矩阵。但对于初学者而言，如何化、怎样化才简ç002－1－13÷ç÷单是一个不易处理的问题，看似无规律可循，但实际è0002－2－4ø上，通过分析我们仍可总结出一定的计算规律。r3+2r2æ01031－1ö1对于任意矩阵A，一般采用“先从上向下化r4×2ç00－1012÷m×n→ç÷零，再从下向上化零，最后将各非零行首非零元化为ç000－117÷ç÷1”的方式处理，即可化为行最简形矩阵。è0001－1－2ø(1)先利用第一种初等行变换，使第一

8、行的首æ01031－1ö非零元a在其余各行首非零元的最左边，再利用