微积分基础初步及其在中学物理竞赛中的应用.pdf

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1、微积分初步及其在中学物理竞赛中的应用一、极限二、导数三、微分四、定积分一、极限1.极限的概念引例1.观察下列数列的极限：n1(1)un=(2)un=nn+12解观察数列在n→∞时的发展趋势，得n123n（1）对于数列u=，即,,,...,,...即un的极限为1；：nn+1234n+111111（2）对于数列u=，即,,,...,,...即un的极限为0；nn23n22222引例２：观察下列函数在引例２：观察下列函数在xx→→１时的极限１时的极限23x−x−2y=f(x)=x−1解：在x＝１时，f(x)无意义，但可以知道在x无论怎样接近1时f(x)的值.23x−x+2x3x

2、2-x+2X-1x−10.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.00049997-0.00014.99971.00010.000500030.00015.00031.0010.0050030.0015.0031.010.05030.015.03极限的定义:———如果当自变量x无限接近某一数值x(记作x→x)00时，函数f(x)的数值无限接近某一确定的数值a，则a叫作x→x时函数f(x)的极限值。记作:0limf(x)=a——函数的变化趋势x→x023x−x−2(3x+2)(x−1)lim=lim=lim(3x

3、+2)=5x→1x−1x→1x−1x→12.极限运算法则设limf(x)及limg(x)都存在（假定x在同一变化过程中），则有下列运算法则：lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)法则1x→x0x→x0x→x0．lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)法则２x→x0x→x0x→x0．limf(x)f(x)x→xlim=0x→x(limg(x)≠0).法则３0g(x)gxlim()x→x0x→x03.两个重要极限sinxsin口（1）lim=1lim=1x→0x口→0口当x很小时：sinx≈xtanx≈x1口1xlim（1+）=elim

4、⎛1+⎞⎟=口→∞口（2）⎜ex→∞⎝x⎠1∞lim1+口=e1型（口）口→0sin3x例1．求lim.sin口x→0sin4xlim=1口→0口sin3xxsin34x3x解:lim=lim(⋅⋅)xx→→00sin4xxx3sin44x3sin3xx43=⋅=limlim.430xx→→3xx40sin441−cosx例2．求lim.2x→0x22x⎛x⎞2sin⎜sin⎟1−cosx2121解：lim=lim=⎜lim⎟=．22x→0xx→0x2⎜x→0x⎟2⎝2⎠x⎛3⎞1例3．求lim⎜1+⎟lim（1+）口=ex→∞⎝x⎠口→∞口x解：令=u,则x=3u33xu

5、u3⎛⎞⎛⎞311⎡⎤⎛⎞3lim1⎜⎟⎜⎟+=+=lim1lim⎢⎥⎜⎟1+=e．xuu→∞⎝⎠⎝⎠xuu→∞→∞⎣⎢⎥⎝⎠⎦二、导数1.导数的概念引例1.变速直线运动的瞬时速度S０S(t)S(t+Δt)00Δss(t+Δt)−s(t)平均速度00v==ΔtΔt当Δt很小时，v可作为物体在t时刻的瞬时速度的近似值.且0Δt越小，v就越接近物体在t时刻的瞬时速度，即0Δss(t+Δt)−s(t)00v(t)=limv=lim=lim.0Δt→0Δt→0ΔtΔt→0Δt物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限.引例2.平面曲线的切线斜率在曲线

6、L上点M附近，再取一y0y=f(x)点M,作割线MM，当点M沿曲M0T线L移动而趋向于M0时，割线M0LNϕMM的极限位置MT就定义为曲α00oABx线L在点M处的切线.斜率为0Δyf(x+x)−f(x)00tanα=limtanϕ=lim=limΔx→0Δx→0ΔxΔx→0x−x0曲线y=f(x)在点M处的纵坐标y的增量Δy与横坐标0x的增量Δx之比，当Δx→0时的极限即为曲线在M点处0的切线斜率.导数的定义设函数y=f(x)在点x的某一邻近区间内有定义，当自0变量x在x处有增量Δxxxx(Δ≠0,+Δ仍在该邻域内)时，相00应地函数有增量Δyfxxfx=(+−Δ)()，

7、如果Δy与00ΔyΔx之比当Δx→0时，极限ΔxΔyf(xxf+Δ)()−x00lim=limΔxx→→0ΔΔxΔ0x存在，那么这个极限值称为函数y=f(x)在点x的导数.0并且说，函数y=f(x)在点x处可导。0导数---增量比的极限，反映了函数的变化率（快慢）y'df(x)dy记为f′(x0),x=x0，或dxx=x0dxx=x0Δyf(xxf+Δ)()−x′==00即fx()limlim0Δ→xx00ΔΔxxΔ→（1）如果f(x)在(a,b)内可导，那么对应于(a,b)中的每一个确定的x值，对应着一个确定的导