差分迭代法上机报告.pdf

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1、差分迭代法考察一维向列型液晶指向矢分布的上机报告2011059120016宋正格1理论原理1.1建立坐标系在解决这个问题之前，需要考虑的一个重要问题是将实际问题抽象成数学模型。我们将一维向列型液晶显示器件的模型简化为两片玻璃基板中夹有液晶层，因此建立如下图所示的坐标系：ZTheta（Y）XX方向表示玻璃基板的方向，Z方向表示玻璃基板中外加电场的方向，Theta表示液晶分子长轴和电场方向的夹角。在给定的坐标系下，我们可以得到液晶分子的电控指向矢的表达式：??=????{??=0??=????1.2推导差分迭代表达式在给定的电控指向矢的条件下，我们

2、考察如下关系：向列型液晶在电场存在下的自由能密度为：12221frknˆknˆnˆknˆnˆED11223322液晶中与电场方向平行的电感通量D可以表示为：22DEcosEsinps因此自由能密度表达式可以写成：122221f(r)[k(nˆ(r))k(nˆ(r)nˆ(r))k(nˆ(r)nˆ(r))]ED1122332p20122221[k(nˆ(r))k(nˆ(r)nˆ(r))k(nˆ(r)nˆ(r))]k(nˆ(r)nˆ

3、(r))ED112233222p20将指向矢表达式代回到自由能密度表达式中，由于：nˆsinnˆnˆ0nˆnˆnˆ(0,cos,0)cos2,0,sincosEV因此，化简后可得自由能密度表达式为：122422221dV222frksinkcossincos()cossin1133ps22dz由液晶的弹性体理论，利用变分法可以得到如下欧拉方程：fdf0dzfdf0

4、VdzV考虑到?和V均是z的函数，因此其中的偏导关系可以化为：f1ksin22ksin224cos3sin24sin3cos2sin2(dV)21133sp22dzsin22dV2[(kk)()]1133sp2dzf1[k2sin2k2(cos2sin2cos4)]21133(ksin2kcos2)1133df(ksin2kcos2)(ksin2ksin2)dz

5、11331133(ksin2kcos2)2sin2(kk)11331133f0Vf22V(cossin)VpsdfV(cos2sin2)Vsin2()dzVpsps现在引入中心差分公式：i1i12h2i1i1i2hVVVi1i12hVV2VVi1i1i2h我们的目的是将中心差分公式中的四个变量代入欧拉方程组中，求解出?i和??然后进行差分迭代运算。因此，将中心差分公式代入欧拉方程组可得：

6、22sin2[(i1i1)(k11k33)(Vi1Vi1)(ps)]i1i1i2216(ksinkcos)211331(VV)()sin2i1i1i1i1V(VV)()ii1i1ps2228(cossin)ps1.3差分迭代法原理与牛顿法和张驰法相比，差分迭代法的计算结果和计算速度比较令人满意，因此采用差分迭代法。该题目的目的是利用差分迭代法得到最精确的一维向列型液晶指向矢的表达式，因此要求最后的结果精确度不低于10-6。根据我们已经推出的?i和??的

7、表达式，我们会得到一组迭代方程。要求解这个迭代方程组，首先我们将抽象模型中的两玻璃基板划分网格。在该题目中，我们选择划分1000层以力求精确。然后需要确定边界条件。首先，我们选取确定坐标系下的指向矢分布作为求解上述方程的初值，将上述格点进行赋值，作为第0次迭代的值。然后再以该值作为第1次迭代的值进行第2次迭代计算，以此类推。通过程序一一算出n次迭代的值，其最后精确度达到10-6级别时便可以结束计算。本题目不考虑收敛速度，因此不加上松弛因子控制收敛速度。2程序框图给定参数划分基板层数给定初值给定迭代次数，进行迭代计算否是否达到迭代次数是输出结果3

8、Matlab代码%声明给定参数k11=13.7e-12;k33=16.8e-12;e0=8.85e-12;es=8.6*e0;ep=15.3*e0;%