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1、第39卷第13期数学的实践与认识Vol.39No.132009年7月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJuly,2009基于信息再利用的灰色系统GM(1.1)模型建模方法及应用张世强(重庆医科大学数学教研室,生物医学工程研究室,法医学与生物医学信息研究室,四川重庆400016)摘要:目的:寻找新的灰色系统GM(1.1)模型建模方法,建立拟合精度与预测精度较高的GM(1.1)模型.方法:在邓聚龙教授建模方法的基础上,用基于信息再利用的方法,建立新的灰色系统GM(1.1)模型.结果:用基于信息再利用的灰色系统GM(1.1)模
2、型建模方法建立的GM(1.1)模型,其拟合精度与预测精度不但优于传统方法建立的GM(1.1)模型,而且优于其他改进方法建立的GM(1.1)模型.结论:基于信息再利用的灰色系统GM(1.1)模型建模方法不但建模过程简单适用,而且其建立的GM(1.1)模型拟合精度与预测精度优于其他改进方法建立的GM(1.1)模型,因而具有广泛的应用价值.关键词:灰色系统;数学模型;灰色模型;GM(1.1)模型1引言[1-2]灰色系统理论中的GM(1.1)模型自20世纪80年代邓聚龙教授提出以来,因其计算方法简便,所需样本数据较少等优点,广泛应用于社会、经济、军事、气
3、象、工程技术和生物医学等众多领域.GM(1.1)模型是应用最为广泛的灰色模型.建立GM(1.1)模型的传统方法有计算方法简便的优点,美中不足的是拟合精度和预测精度有时较差.为了提高GM(1.1)模型的拟合精度和预测精度,许多学者在GM(1.1)模型建模方法上做了大量的研究.主要是从以下两个方面进行了研究:一方面是探讨了改进求解[3-7]GM(1.1)模型中的参数的方法;另一方面是探讨GM(1.1)模型中的边值的确定方[8-9,12]法.本文拟将参数的求解与边值的确定综合在一起讨论,提出了一种基于信息再利用的方法.用该方法建立的GM(1.1)模型可
4、以极大地提高GM(1.1)模型的拟合精度和预测精度,该方法的另外一个优点是保持了传统方法建立GM(1.1)模型的计算方法简便的优点.文中的应用实例验证了本文提出的基于信息再利用的方法的有效性与实用价值.2传统(等距及非等距序列)的灰色系统GM(1.1)模型的建模方法2.1基本概念设时间序列为t={t1,t2,…,tn}其对应的原始数据序列为(0)(0)(0)(0)x={x(t1),x(t2),…,x(tn)}(1)令Δtk=tk+1-tk,当Δtk=const,称序列(1)为等距序列.当Δtk≠const,序列(1)为非收稿日期:2007-11-
5、26基金项目:重庆医科大学科技基金(NSFYY200722)98数学的实践与认识39卷等距序列.2.2传统的灰色系统GM(1.1)模型的建模方法原始数据序列(1)的一次累加生成序列为(1)(1)(1)(1)x={x(t1),x(t2),…,x(tn)}(2)其中k(1)(0)x(tk)=∑x(ti)Δti}(3)i=1从一次累加生成序列(2)还原为原始数据序列(1)的计算公式为(1)(1)(0)x(tk+1)-x(tk)x(tk+1)=(4)tk+2-tk+1当一次累加生成序列(2)接近于非齐次指数规律变化时,序列(2)的响应函数是微分方程(1)
6、dx(t)(1)+ax(t)=bdt(5)(1)(0)x(t1)=x(t1)的解(1)(0)b-a(t-t)bx(t)=x(t1)-e1+aa其中未知常数a与b为待辨参数.序列(2)的离散响应函数为(1)(0)x(t1)=x(t1)(1)(0)b-a(t-t)b(k=2,3,…,n)(6)x(tk)=x(t1)-ek1+aa2.3确定待辨参数a与b为了确定待辨参数a与b,可用下面的差分方程代替微分方程(5):(1)Δx(tk)(1)+ax(tk)=bΔtk(7)(1)(0)x(t1)=x(t1)其中(1)(1)(1)Δx(tk)x(tk)-x(t
7、k-1)(0)==x(tk),k=2,3,…,nΔtktk-tk-1(1)再用下面的数据代换平滑差分方程(7)中的x(tk),(1)(1)(1)z(tk)=λx(tk)+(1-λ)x(tk-1)),k=2,3,…,n可得平滑后差分方程为(1)Δx(tk)(1)+az(tk)=bΔtk(8)(1)(0)x(t1)=x(t1)(1)上式中的z(tk)称为背景值,λ称为背景参数.背景参数λ目前还没有最佳的取值方法,已有不少文献对其进行了有益的讨论,在大部分解决实际问题的文献中,通常还是按文献[1]取背景参数为0.5.13期张世强:基于信息再利用的灰色系
8、统GM(1.1)模型建模方法及应用99将原始数据序列(1)的一次累加生成序列(2)代入上式,用矩阵方程可确定待辨参数a与b:aT-1T=
