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1、第六节极限存在准则和两个重要极限本节建立极限存在的两个基本准则,及由准则导出两本节要点一、夹逼准则个重要极限.二、单调有界准则一、夹逼准则⑵则准则1如果⑴当（或）时,有该准则的数列形式为准则如果数列则数列的极限存在,且⑴⑵满足下列条件:证仅对时函数的极限证明夹逼准则.因故时,有即又因对此时,有即取当时有注:在数列情况下,要求从第一项开始不等式成立.而实际情况是:数列的极限存在与否与前项的取值无即故关,故条件可放宽为自某一项以后,不等式成立即可.重要极限1:如图所示,在单位圆中,记圆心角证首先注意
2、到函数,对一切都有定义,并AODCBx点处的切线与的延长线交于且函数为偶函数,故仅需证明对时极限成立即可.则即从而变形为因的面积<扇形的面积的面积,不等式两边都除以,得因由准则1,得注:因当时,有不等式即:即当时,由准则1,得例1求解例2求解注本例说明极限这是一个重要的极限.例3求解令则由复合函数的极限运算法则,得则,当时,例4证明所以即证当时,令于是两边取极限,由夹逼定理得:即有因对任意的,总有由此得由此极限,得到二、单调有界收敛准则准则2单调有界数列必有极限.更具体地说:若数列单调递增且
3、有上界,则存在并且若数列单调递减且有下界则存在并且不大于;不小于应用此准则,我们来讨论另一个重要极限设,今证数列单调增加且有界.类似地有比较的展开式,可以看到除前两项外,的每一项都小于的对应项,且还多了最后的一项,其值大于零,所以由此说明数列是单调递增的.又因此说明数列是有界的,由极限存在准则2,知数列的极限存在,下面证明,当时,函数限均存在,且都等于,即有的极以数表示,即因为事实上,若记则由夹逼准则,得由此得到:若令则例5求解进一步有例6求解进一步有例7求解注此极限的一般形式是例8设求解即例9求
4、解因而一般,若则
