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1、第三节函数极限的定义一、函数在有限点处的极限本节要点二、函数在无穷大处的极限一、函数在有限点处的极限在上节中,我们讨论了数列的极限.而我们又知道数列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数.那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.引例设函数从图形中可以看出:尽管函数在点处没有定义,但当趋近于看到,对于轴上的任何一个以2为中心,为半径的邻域,在轴上都1而不等于1时,相应的曲线上的点趋近于直线更进一步的可以1可以找到一个相应的以1为中心、为半径的去心邻域,将上面的问题一般化,就得到函在该邻域中的点
2、所对应的直线上的点都落在围成的带形区域中.数在有限点处极限的定义.1或定义设函数在点的某个去心邻域中有定义,如果存在常数使得对于任意给定的正数总存在正正数对于满足的一切都有那么常数就称作函数当时的极限,记为函数在点处的极限的几何意义.o曲线均在矩形区域中例设函数x12yO注:函数在点处的极限与函数在这一点是否有定义、或为多少毫无关系,它所反映的是在则该点附近的变化趋势.但事实上,极限与的取值毫无关系.x12yO经过不等式的变形,得到关系注函数在点的极限的定义说明了如何去证明其中是一个与无关的常量.再取,则当函数在点的极限为的方
3、法:对于考虑时,有:此即说明例1证明下列极限⑴证⑴因所以故⑵⑵因欲使即所以不妨取此时令则因而当时有例2证明证因所以对任意的取当时有所以例3证明证因所以任取即为能解出不等式，要对进行适当的控制,为此限定的变化范围是,此时有取当有例4证明证因取即所以即所以任取取当有证因例5设证明所以任取取当有所以左、右极限前面讨论的是函数在某一点的极限,它反映的是当在该点两侧趋近于时,函数有一个确定的变化趋势,但某种情况下,函数在两侧的趋势是不同的,这就需要分别加以讨论.考虑函数:该函数在点两侧的变化趋势是不同的:当在0的右侧趋近于0时
4、,；而当在的左侧趋近于时,这就引出了左右极限的概念.对应的函数值总能满足那么常数就称作函数在处的左（右）极限.定义设函数在的某个左(右)邻域内有定义,如只要满足果存在常数使得对于任意给定的正数总存在正数左极限记为右极限记为容易验证:定理极限存在的充分必要条件是在点处的左右极限存在并且相等.例6符号函数则所以不存在.例7说明极限解因所以极限不存在.不存在.二、函数在无穷大处的极限那么常数就叫做函数当时的极限,记为使得对于任意给定的正数,总存在正数,只要满足对应的函数值都满足定义设函数当时有定义,如果存在常数函数在无穷大处的极限
5、的几何意义从图中可以看出,对于任意给定的正数存在正数当对应的函数图形均落在围成的带形区域中.单侧极限和定理将上述定义中的取值范围限定在一侧,就得到单侧极限的定义,分别记为例8证明证因所以取当时有所以例9证任取当时,则有不等式因即令则当时,有例10求解因所以不存在.
