高考数学第三章三角函数与解三角形第8讲解三角形应用举例课件.pptx

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1、第8讲　解三角形应用举例1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求b与c.在有解时只有一解1.解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法如下表所示：已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出角A或B；再由A＋B＋C＝180°

2、求另一角.在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角A，B；再由A＋B＋C＝180°求角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角B；再由A＋B＋C＝180°，求角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解(续表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题等.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角

3、叫做俯角[如图3-8-1(1)].(1)(2)图3-8-1(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α[如图3-8-1(2)].(4)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数.2.如图3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝200m.则A，C两点的距离为()A3.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，且两条船与炮

4、台底部连线成30°角，则两条船相距()图D24＝30m.答案：D4.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是()图D25答案：C考点测量问题考向1测量距离问题例1：某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图3-8-3所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80nmile，BC＝40＋50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，则收到指令时该轮船到城市

5、C的距离是__________nmile.图3-8-3答案：100【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.1.(2017年江西赣州模拟)如图3-8-4，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()图3-8-4【互动探究】解析：由题意，可知∠BDC＝90°－4

6、5°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40海里.在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，答案：A考向2测量高度问题例2：(1)(2015年湖北)如图3-8-5，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.图3-8-5(2)(2014年新课标Ⅰ)如图3-8-6，为测量山高MN，选择点A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角为∠MAN

7、＝60°，点C的仰角为∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°；从点C测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.图3-8-6答案：150【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念.(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内运用正弦或余弦定理.【互动探究】2.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.图D26考向3测量角度问题例3：如图3-8-7，在一个坡度一定的山坡AC的山顶上有一高度为25m的建筑物CD.为了

8、测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°.根据以上数据计算可得cosθ＝____.图3-8-7【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行，