鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用微专题二导数中的函数构造问题课件.pptx

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1、微专题二　导数中的函数构造问题第三章　导数及其应用[解题技法]函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现.一、利用f(x)进行抽象函数构造(一)利用f(x)与x构造例1设f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为__________________.(－∞，－4)∪(0,4)思路点拨出现“＋”形式，优先构造F(x)＝xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.解析构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x

2、)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减.∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减.根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4).例2设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________________________.(－∞，－1)∪(1，＋∞)思路点拨

3、出现“－”形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，可以推出当x<0时，F′(x)>0，F(x)在(－∞，0)上单调递增.∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增.根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).2.xf(x)，是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.F(x)＝x

4、nf(x)，F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝我们根据得出的结论去解决例3.结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；例3已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是_______________.(－1,0)∪(0,1)思路点拨满足“xf′(x)－nf(x)”形式，优先构造F(x)＝然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合

5、求解即可.当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当x>0时，F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减.∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，所以F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增.根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1).(二)利用f(x)与ex构造例4已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)e2f(0)，f(2019)>e2019f(0)B.f(2)

6、f(2019)>e2019f(0)C.f(2)>e2f(0)，f(2019)

7、′(x)＝enx[f′(x)＋nf(x)]；结论：(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝我们根据得出的结论去解决例5，例6.例5若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e2x的解集为________.{x

8、x>0}思路点拨满足“f′(x)－2f(x)>0”形式，优先构造F(x)＝然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.函数f(x)满足f′(x)－2f(x)>0，则F′(x)>0，F(x)在R上单调