鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用微专题二导数中的函数构造问题教案含解析20190831291

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1、微专题二　导数中的函数构造问题[解题技法]函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现．一、利用f(x)进行抽象函数构造(一)利用f(x)与x构造1．常用构造形式有xf(x)，，这类形式是对u·v，型函数导数计算的推广及应用．我们对u·v，的导函数观察可得知，u·v型导函数中体现的是“＋”法，型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u·v型，当导函数形式出现的是“－”法形式时

2、，优先考虑构造.例1　设f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________．思路点拨　出现“＋”形式，优先构造F(x)＝xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案　(－∞，－4)∪(0,4)解析　构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为

3、奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2　设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________．思路点拨　出现“－”形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析　构造F(x)＝

4、，则F′(x)＝，当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，可以推出当x<0时，F′(x)>0，F(x)在(－∞，0)上单调递增．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增．根据f(1)＝0可得F6(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．xf(x)，是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F(

5、x)＝xnf(x)，F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；F(x)＝，F′(x)＝＝；结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.我们根据得出的结论去解决例3.例3　已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．思路点拨　满足“xf′(x)

6、－nf(x)”形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案　(－1,0)∪(0,1)解析　构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当x>0时，F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，所以F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利

7、用f(x)与ex构造1．f(x)与ex构造，一方面是对u·v，函数形式的考察，另外一方面是对(ex)′＝ex的考察．所以对于f(x)±f′(x)类型，我们可以等同xf(x)，的类型处理，“＋”法优先考虑构造F(x)＝f(x)·ex，“－”法优先考虑构造F(x)＝.例4　已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)e2f(0)，f(2019)>e2019f(0)6B．f(2)e2019f

8、(0)C．f(2)>e2f(0)，f(2019)