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1、第一章基本初等函数2指数函数的图像及性质一、学习目标1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质．二、知识梳理1．指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R，值域(0，＋∞)图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数三、典
2、型例题知识点一 指数函数的概念例1 给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是()A．0B．1C．2D．4答案 B解读 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．规律方法 1.指数函数的解读式必须具有三个特征：
3、(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．跟踪演练1 若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________．答案 {a
4、a＜，且a≠1}解读 y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：7/7解得a＜且a≠1.故a的取值范围为{a
5、a＜，且a≠1}．知识点二 指数函数的图象例2如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜
6、c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c答案 B解读 方法一 在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.∴b＜a＜1＜d＜c.方法二 作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.规律方法 1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，
7、a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．跟踪演练2(1)函数y＝
8、2x－2
9、的图象是()(2)直线y＝2a与函数y＝
10、ax－1
11、(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．7/7答案 (1)B(2)0＜a＜解读 (1)y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝
12、2x－2
13、的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变
14、，下方部分对折到x轴的上方得到的．(2)当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝
15、ax－1
16、的图象(如图(1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜a＜1，作出函数y＝2a和y＝
17、ax－1
18、的图象(如图(2))．若直线y＝2a与函数y＝
19、ax－1
20、(a＞0且a≠1)的图象有两个交点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜.知识点三 指数型函数的定义域、值域例3求下列函数的定义域和值域：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝.解 (1)由x－4≠0，得x≠4，故y＝的定义域为{x
21、x
22、∈R，且x≠4}．又≠0，即≠1，故y＝的值域为{y
23、y＞0，且y≠1}．(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，∴y＝的定义域为(－∞，0]．由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，∴y＝的值域为[0,1)．(3)y＝的定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴≤－4＝16.又∵＞0，故函数y＝的值域为(0,16]．规律方法 对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数，(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u
24、＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．7/7跟踪演练3(1)函数f(x)＝＋的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________．答案 (1)A(2)[－，2]解读 (1)由题意，自变量x应满足解得∴－3＜x≤0.(2)∵－1≤x≤2，∴≤x≤3，∴－≤x－1≤2，∴值域为.四、课堂练习1
