2、)>0,则a+b0(选填“>”“<”或“=”).解析:由f(a)+f(b)>0得f(a)>-f(b)=f(-b),又f(x)在R上是减函数,所以a<-b,即a+b<0.答案:<5.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数,且最大值是4,最小值是-1,则2f(-6)+f(-3)=.解析:由题意可知,f(-6)=-f(6)=-4,f(-3)=-f(3)=1,所以2f(-6)+f(-3)=-7.答案:-7题型一利用奇偶性求函数值【例1】设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x+m(m
3、为常数),则f(-3)=.课堂探究解析:因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即m=0,所以f(x)=x2+2x,故f(3)=32+2×3=15,又f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-15.答案:-15本题中当x≥0时,函数解析式含参数m,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出m的值,然后根据奇函数性质求f(-3)的值.误区警示即时训练1-1:已知函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-,则f(1)等于( )(A)2(B)1(C)0(D)-2解析:
4、由f(x)是奇函数,得f(1)=-f(-1)=-[(-1)2-]=-2.故选D.题型二利用奇偶性求函数f(x)的解析式【例2】(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x-3,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式.利用函数奇偶性求解析式时的注意事项:(1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x.(2)然后要利用已知区间的解析式写出f(-x);(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或
5、f(x),从而解出f(x);(4)要注意R上的奇函数定有f(0)=0.若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略.方法技巧即时训练2-1:(1)已知函数f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)=x+b,若f(-3)=5,则x<0时函数解析式为;解析:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=5.所以f(3)=-5.又x>0时,f(x)=x+b,所以3+b=-5,所以b=-8.所以x>0时,f(x)=x-8.设x<0,则-x>0,即f(-x)=-
6、x-8.又f(x)是奇函数,所以-f(x)=-x-8,即f(x)=x+8.答案:(1)f(x)=x+8(2)已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x2,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=.解析:(2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)-(-x)2=-x-x2,又因为f(x)为偶函数.所以f(-x)=f(x),故f(x)=-x-x2.答案:(2)-x-x2函数的奇偶性与单调性的综合题型三(2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.变式探究1:若
7、本例将定义域(-1,1)改为R,其他条件不变,则不等式f(t-1)+f(2t)<0的解集是什么?变式探究2:本例中函数的值域是什么?方法技巧(1)利用单调性和奇偶性解不等式的方法①充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)8、且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性.②若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.抽象函数的奇偶性题型四【例4】已知对于任意非零实数x,y,函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(1),f(-1);(2)判断函数f(x)的奇偶性.解
