1.3.2 奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用（改）

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1、第2课时函数奇偶性的应用1例1.判断下列函数的奇偶性2例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，（1）f(x)是偶函数，求（-∞，0）上的解析式.（2）f(x)是奇函数，求（-∞，0）上的解析式(3)f(x)是奇函数，求R上的解析式3分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求当时，如何用含x的表达式表示f(x)能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞）上的自变量.根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义域的对

2、称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函数就是f(x)=f(-x)，这样当时，，而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同样处理.4解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)当时，，所以，当时，(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x)当时，，所以，当时，5探究点3函数的奇偶性与函数的单调性回顾例1中两个函数的图象第（1）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.第（2）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的区

3、间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.6例3.设函数是定义在[-1,1]上递减的奇函数，解不等式7函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在其关于定义域对称的区间上单调性相反.(2)奇函数在对称区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在对称区间上的最值相等.提升总结：81.(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0)，则｛x

4、f(x-2)>0｝=()（A）{x

5、x<-2或x>4}（B

6、）{x

7、x<0或x>4}（C）{x

8、x<0或x>6}（D）{x

9、x<-2或x>2}解:选B.因为函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，且f(2)=0,由偶函数的性质可知，若f(x-2)>0,需满足

10、x-2

11、>2,得x>4或x<0,故选B.92.画出函数f(x)=-x2+4

12、x

13、的图象.答案：103.已知奇函数f(x)，在（-∞，0]上的解析式是f(x)=x2+2x，求这个函数在（0，+∞）上的解析式.答案：111.函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与函数的单调性一样是今后进一步研究函数问题的主要工具.2.函数的

14、奇偶性是函数在定义域上的整体性质，而函数的单调性是函数在定义域上的局部性质.3.具备奇偶性的函数，若是奇函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；若是偶函数则在定义域对称的区间上具有相反的单调性.12但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。——凡尔纳13