1.3.2 奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用

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1、1第2课时函数奇偶性的应用1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征；2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；(难点）3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）2生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？3探究点1根据函数奇偶性画函数图象偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象.奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.4例1.画出下列函数

2、的图象（1）（2）分析：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据对称性画出函数在x<0时的图象.（2）函数是奇函数，同样根据对称性解决.5解：（1）当时，其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0).此时函数图象在y轴右半部分如图所示：根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图.6（2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且在（0，+∞）上函数值都是正值，函数在（0，+∞）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定

3、义进行证明）根据函数在（0，+∞）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内部分.根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。7例289探究点2根据函数奇偶性求参数10探究点2函数奇偶性的应用例311例4123、根据函数的奇偶性求函数解析式例5.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式.（1）f(x)是偶函数；（2）f(x)是奇函数.13分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求当时，如何用含x的表达式表示f(x).能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析式，这样就要把（-

4、∞，0）上的自变量转化到（0，+∞）上的自变量.根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函数就是f(x)=f(-x)，这样当时，，而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同样处理.14解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)，当时，，所以，当时，(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).当时，，所以，当时，【拓展提升】根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.(2)转化代入已知区间的解析式.(3)利用函数f(x)的奇

5、偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x)，从而解出f(x).16探究点3利用函数的奇偶性研究函数的单调性从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.17例6.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明函数在（-∞，0）上也是减函数.分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞，0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在(-∞0)上的函数值转化到（0，+∞）上的函数值，再

6、根据函数在（0，+∞）上是减函数，确定所作的差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的结论.18所以-f(x1)+f(x2)<0，即f(x1)-f(x2)>0.证明：在（-∞，0）上任取x1-x2>0因为函数在（0，+∞）上是减函数，所以由于函数f(x)是奇函数，所以根据减函数的定义，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数.19函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且

7、互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.【提升总结】20练习：若f(x)是R上的偶函数，且在［0，+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A.f(-2)＞f(0)＞f(1)B.f(-2)＞f(1)＞f(0)C.f(1)＞f(0)＞f(-2)D.f(0)＞f(-2)＞f(1)答案：选B.f(x)是R上的偶函数，所以f(-2)=f(2).又f(x)在［0，+∞)上是增函数，故f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(-2)＞f(1)＞f(0).变式：若f(x)是奇函数，且在（0，+∞)上是增函数，f(1)=0，则f(x)>0的解集为_____