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1、1992全国初中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足的非负整数的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)42.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是()(A)>(B)=(C)<(D)不确定3.若,则的个位数字是()(A)1(B)3(C)5(D)74.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为()(A)7(B)6(C)5(D)45.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和Rt的面积分
2、别为S1和S2,则S1与S2的关系是()(A)(B)(C)(D)不确定6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是()(A)0(B)1(C)2(D)37.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.则AE:EB等于()(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:108.设均为正整数,且,,则当的值最大时,的最小值是()(A)8(B)9(C)10(D)116/6二、填空题1.若一等腰三角形
3、的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于______________.2.若,则的最大值是_________.3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则.4.若都是正实数，且，则.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.求证：.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个
4、数字的位置与M和N相同.试求：M和N.6/61992全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一、选择题1.(C)由(1,0)(0,1).又由(1,1).∴共有3对.2.(B)设是方程的根,则.所以.3.(D)由知.所以,.,从而的个位数字为9-2=7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1。同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于.5.(B)设A点的坐标为(),C点的坐标为(),则.∴.6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为，圆周经过的所有小方格的圆外
5、部分的面积之和为，则，.6/6∴.故的整数部分是1.7.(B)设,则,易证,,.6/66/6∴FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线．即BG=GD．所以BD=2BG=2DC．三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于N也有类似的结论．这就是说，在每个
6、数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．(A)若3不对，则有610253，013256；(B)若1不对，则有360251，301256；(C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206．经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．6/6
