1990年全国初中数学联合竞赛试卷.doc

《1990年全国初中数学联合竞赛试卷.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1990年全国初中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．1．的值是（）（A）1（B）－1（C）2（D）－22．在△ABC中,AD是高,且AD2=BD·CD，那么∠BAC的度数是（）（A）小于90°（B）等于90°（C）大于90°（D）不确定3．方程是实数)有两个实根、，且0＜＜1，1＜＜2，那么k的取值范围是（）（A）3＜k＜4；（B）－2＜k＜－1；（C）3＜k＜4或－2＜k＜－1（D）无解。4．恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（

2、）（A）17（B）18（C）35（D）365．△ABC中，，，，设为边上任一点，则（）（A）·（B）·（C）·（D）·的大小关系并不确定6．若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（）（A）不存在（B）只有一个（C）有有限个，但不只一个（D）有无穷多个7．若的尾数是零，且，那么下列四个结论：（1）；（2）；（3）（3）中，正确的结论的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）48．如图，点，，分别在△的边上、、上，且，那么，△面积的最大值是（）（A）（B）2（C）（D）3二、填空题1．已知，则=．2．，…，1234567892的和的个位数

3、的数字是．3．方程，有两个整数根，则．4．△中，，边有100个不同的点，，…，，记·(1，2，…，100)则…=．第二试一、已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=180°－2，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE．二、表示不超过实数的最大整数，令（1）找出一个实数，满足（2）证明：满足上述等式的，都不是有理数．三、设有个正方形方格棋盘，在其中任意的个方格中各有一枚棋子．求证：可以选出行和列，使得枚棋子都在这行和列中．1990年全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一、选择题1．（D）原式==2．（D）如图，由·，有2·＝·＝即，可得∠BAC＝90°如图,虽

4、然·,点在△外,∠＞90°,∠＜90°因此∠的度数不确定．3.（C）记由4.（A）高这35个连续自然数最小的是,最大的是∴，即，∴．5.（C）如图,设,,在△中,由余弦定理,有·BPcosB在△中,由余弦定理,有∴而令∴．6.（D）若能找到6个整数…使满足（1）…；（2）≤，≤，≤；≤，≤；（3）＞．则以…为边长的六边形，即可符合要求．事实上，对任选三整数1≤＜＜≤6，必有≤，可见此六边形的任三边不能构成一个三角形．现取，则,满足全部条件.故这样的六边形至少存在一个.又由n边形(n≥4)的不稳定性,即知这样的六边形有无穷多个.7.(A)由.所以<0得,所以结论(3)与结论(2)都是错误的.在结

5、论(1)中,若.所以结论(1)也是错误的.这样,只有结论(4)是正确的.事实上,由,可得又因为.因为为整数,所以=-1,即,结论(4)正确.8.(B)首先,若以Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ分别记,则SⅡ,SⅢ,SⅣ均不大于.又因为,所以易证:≤(,分别为公共边PR上的高,因若作出△PQR关于PR的对称图形PQ’R，这时Q’，A都在以PR为弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ’=Q’R，所以Q’为这弧中点，故可得出h1≤h2）。从而≤SⅣ≤，这样=SⅠ+SⅡ+SⅢ+SN≤最后，当AB=AC-2，∠A=90°时，S△ABC=2即可以达到最大值2。二、填空题1．622．5因123456789=10×12345678+9

6、所以所求数字等于（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）×12345678+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）的结果的个位数字。即5×8+5=45的个位数的数字，故所求数字为5。3．8原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根，由x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8都是整数。故由原方程知x-a=x-8(=±1)∴所以a=84．400作AD⊥BC，如图，则BD=DC。设BD=DC=y，DPi=x,则∴.第二试一.证明如图,连BD,CE.因..∴又∵,.二.解法1设≤,若{x}+{}=α+β=1∴是整数。令即解得当易验证它不满足所设等式。当≥3时，是满足等式的全体实数。由于不

7、是完全平方数（事实上，若则但当≥3时，两个平方数之差不小于5）。所以x是无理数，即满足题设等式的x，都不是有理数。解法2（1）取或（2）用反证法证明之。反设满足等式之x为有理数。首先，若x为整数，则{x}=0，代入等式得{}=1，与0≤{}<1矛盾。其次，若x为非整数的有理数。令（其中n，p，q均为整数1.≤q≤p且（q，p）=1）则(其中s,r为整数当n≥0时0≤rnp+q当n≤-1时,np+q