2000年全国初中数学联合竞赛试卷

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1、2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月2日上午8:30----9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．计算的值是（）（A）1（B）（C）2（D）52．若，则的值是（）（A）（B）（C）5（D）63．设a,b是不相等的任意正数，又，则x,y这两个数一定（）（A）都不大于2（B）都不小于2（C）至少有1个大于2（D）至少有1个小于24．正整数n小于100，并满足等式=n，其中表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有（）（A）2个（B）3个（C）12个（D）16个5．已知一个梯形

2、的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）（A）4（B）6（C）8（D）6．已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP=8，∠APD=60°，则R等于（）（A）10（B）2（C）12（D）14二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．，是正数，并且抛物线y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是_______．2．某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭

3、配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元．某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为________元．3．实数x,y满足和2x2-xy-5x+y+4=0，则x+y=________．4．设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s2-t2=______

4、__．第二试（4月2日上午10:30----11:30）一、（本题满分20分）   设p是实数，二次函数y=x2-2px-p的图象与轴有两个不同的交点．A(x1,0),B(x2,0).   （1）求证：2px1+x22+3p>0；（2）若A,B间的距离不超过丨2p-3丨，求p的最大值．二、（本题满分25分） EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k，FH=，四边形EFGH的面积为s．（1）求证：；（2）试用表示正方形AB

5、CD的面积．三、（本题满分25分）设关于的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．第一试试题答案一、1、（C）；2、（A）；3、（C）；4、（D）；5、（D）；6、（B）二、1、20；2、150；3、4；4、第二试部分试题答案三、2000年全国初中数学联赛试题解答第一试一、1．(Ｃ)∵,,∴原式　　　　　2．(Ａ).由已知条件知x≠0，y≠0.把已知等式变形并利用等比消去y，得　　　则x=3y.故3．(Ｃ)设a=1,b=3，得x

6、=10,y=.从而否定(A)及(B).设a=3,b=4，得x=，y=.于是否定(D)，故只有(C)正确.4．(Ｄ)由，以及若x不是整数，则[x]＜x知，2

7、n,3

8、n,6

9、n，即n是6的倍数.因此，小于100的这样的正整数有=16个.5．(Ｄ)以1、2、3、4为边作梯形只有以下六种可能：(1)以1、2为底；(2)以1、3为底；(3)以1、4为底；(4)以2、3为底；(5)以2、4为底；(6)以3、4为底.易知只有(3)才能构成梯形，其他都不能构成梯形.如图，设在梯形ABCD中，AB=3，BC=4

10、，CD=2，DA=1，过A作AH⊥BC于H，作AE∥DC交BC于E，则△ABE是等腰三角形.由　　得　　则　6．(Ｂ)由切割线定理得PB·PA=PC·PD，有8×20=PC(PC+6).解得PC=10.如图，连结AC.在△PAC中，由PA=2PC,∠APC=60°，得∠PCA=90°.从而AD是圆的直径.由勾股定理，得AD2=AC2+CD2=(PA2-PC2)+CD2　=202-102+62=336∴.二、1．20由题设知a2-8b≥0，4b2-4a≥0.则a4≥64b2≥64a，∴a≥4，b2

11、≥a≥4.∴a2+b2≥20.又当a=4,b=2时，抛物线y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是20.2．150.设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套.依题意有　　　　　　　　∴　(2)-(1)×11，消去x，得31(y+z)=465，故y+z=15.所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为　15×20=150(元).3．4.由题设等式知2x2-5x+4=y(x-1)≤x(x-1)，有x2-4x+4≤0，即(x-2)2≤0.从而，x=2