平面图形上的最短路径问题.docx

《平面图形上的最短路径问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第9讲平面图形上的最短路径问题一、方法技巧知识点：1.两点之间，线段最短2.垂线段最短3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等4.三角形任意两边之差小于第三边总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考类型题：将军饮马、造桥选址、费马点（一）根据两点之间，线段最短类型一两点在直线同侧（将军饮马）【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB＇．类型二相交直线之间一点或两点【问题2】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使

2、△PMN的周长最小．分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形分别作点Q、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．30/30PQMN的周长最小．【问题4】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小．作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇

3、B＇交于M，交于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．类型三造桥选址【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小．将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左）使并使AM+MN+NB的值小．将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇关于的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M．两点之间线段最短．AM+M

4、N+BN的最小值为A＇＇B+MN．类型四费马点【问题7】“费马点”作法图形原理所求点为“费马点”即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．30/30△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．（二）根据垂线段最短类型五和最小【问题8】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小．作点P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值

5、为线段P＇B的长．（三）根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等类型六差最小【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小．连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0．（四）根据三角形任意两边之差小于第三边类型七差最大【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大．作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB．的最大值AB【问题11】作法图形原理30/30在直线l上求一点P，使的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于

6、第三边.≤AB＇最大值AB＇二、应用举例类型一两点在直线同侧（将军饮马）【例题1】如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．3B．C．D．6【答案】B【解读】试卷分析：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短，得出BM+MN最小，求出E和B关于AD对称，得到BM+MN’=EN’，求出EN’，即可求出答案试卷解读：解：在AC上取一点E，使得AE

7、=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN’最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），∵AD平分∠CAB，AE=AB，∴EO=OB，AD⊥BE，∴AD是BE的垂直平分线（三线合一），∴E和B关于直线AD对称，30/30∴EM=BM，即BM+MN′=EM+MN′=EN′，∵EN’⊥AB，∴∠EN’A=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN’=AE=3，在△AEN’中，由勾股定理得：EN’=，即BM+MN的最小值是．故选B．【难度】较易类型二相交直线之间一或

8、两点【例题2】如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．1