北京专用2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质课件.pptx

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1、高考数学(北京专用)第十章圆锥曲线§10.1椭圆及其性质A组　自主命题·北京卷题组五年高考考点一　椭圆的定义和标准方程1.(2019北京文,19,14分)已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若

2、OM

3、·

4、ON

5、=2,求证:直线l经过定点.解析本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识点,考查学生用方程思想、数形结合思想、分类讨论解决综合问题的能力,体现了逻辑推理、直观想象和数学运

6、算的核心素养.(1)由题意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为y=x+1.令y=0,得点M的横坐标xM=-.又y1=kx1+t,从而

7、OM

8、=

9、xM

10、=.同理,

11、ON

12、=.由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.则x1+x2=-,x1x2=.所以

13、OM

14、·

15、ON

16、=·===2.又

17、OM

18、·

19、ON

20、=2,所以2=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).2.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦

21、点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解析本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN的方程为y

22、=(x-2).联立解得点E的纵坐标yE=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-n.又S△BDE=

23、BD

24、·

25、yE

26、=

27、BD

28、·

29、n

30、,S△BDN=

31、BD

32、·

33、n

34、,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.易错警示在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为0的情况.考点二　椭圆的几何性质1.(2019北京理,4,5分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则(　　)A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b答案    B本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几

35、何性质考查学生的理解与运算能力;考查的核心素养是数学运算.由题意知=e2=,整理得3a2=4b2,故选B.易错警示椭圆与双曲线中a、b、c关系的区别:(1)椭圆:b2+c2=a2;(2)双曲线:c2=a2+b2.2.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.答案-1;2解析本题考查椭圆与双曲线的几何性质.解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆

36、M的两个焦点.∵直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=x,∴=.设m=k,则n=k,则双曲线N的离心率e2==2.连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF1F2=30°.设椭圆的焦距为2c,则

37、CF2

38、=c,

39、CF1

40、=c,再由椭圆的定义得

41、CF1

42、+

43、CF2

44、=2a,即(+1)c=2a,∴椭圆M的离心率e1====-1.解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为,代入椭圆M的方程,并结合a,b,c的关系,联立得方程组解得=-1.方法总结求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从

45、而求出c与a的比值,即得离心率.3.(2015北京文,20,14分)已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.解析(1)椭圆C的标准方程为+y2=1.所以a=,b=1,c=.所以椭圆C的离心率e==.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,所以可设A(1,y1),B(1,-y1).直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3,得M(3,2-y1

46、).所以直线BM的斜率kBM==1.(