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《北京专用2020届高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线平面垂直的判定与性质课件.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.4直线、平面垂直的判定与性质高考数学(北京专用)A组 自主命题·北京卷题组五年高考1.(2019北京理,12,5分)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.答案若l⊥m,l⊥α,则m∥α(答案不唯一)解析本题考查线面平行、垂直的位置关系,考查了逻辑推理能力和空间想象能力.把其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,共有三种情况.对三种情况逐一验证.①②作为条件,③作为结论时,还可能l∥α或l与α斜交;①③作为条件,②作
2、为结论和②③作为条件,①作为结论时,容易证明命题成立.易错警示容易忽视l,m是平面α外的两条不同直线这一条件,导致判断错误.2.(2019北京理,16,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且=.(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且=.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.解析本题主要考查线面垂直的判定和性质,二面角的求法;考查学生的空间想象能力;以四棱锥为背景考查直观想象的核心素
3、养.(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).所以=(0,1,1),=(2,2,-2),=(0,0,2).所以==,=+=.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因为平面PAD
4、的法向量为p=(1,0,0),所以cos==-.由题知,二面角F-AE-P为锐角,所以其余弦值为.(3)直线AG在平面AEF内.因为点G在PB上,且=,=(2,-1,-2),所以==,=+=.由(2)知,平面AEF的法向量n=(-1,-1,1).所以·n=-++=0.所以直线AG在平面AEF内.思路分析(1)要证线面垂直,需证线与平面内的两条相交直线垂直.(2)建系求两平面的法向量,利用向量法求二面角的余弦值.(3)通过计算得出⊥n,结合A∈平面AEF可证明AG⊂平面AEF.一题多解(2)∵PA=AD且E为PD的中点,∴AE⊥PD.
5、由(1)知CD⊥AE,又∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD,又EF⊂平面PCD,∴AE⊥EF,故可知∠FEP为二面角F-AE-P的平面角.∵PE==,PF==,cos∠CPD==,sin∠CPD=,∴EF2=+()2-2×××=,∴EF=,在△PEF中,由正弦定理得=,即sin∠FEP==,且∠FEP为锐角,∴cos∠FEP==.故二面角F-AE-P的余弦值为.3.(2018北京文,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE
6、⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=BC.因为ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥BC,DE=BC.所以DE∥F
7、G,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.4.(2017北京文,18,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD;(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.解析本题考查线面垂直的判定和性质,面面垂直的判定及线面平行的性质,三棱锥的体积.考查空间想象能力.(1)证明:因为PA⊥AB,PA⊥BC,所以P
8、A⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)证明:因为AB=BC,D为AC中点,所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.所以
