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《2019秋九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂径定理教学课件(新版)华东师大版.pptx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、27.2圆的对称性导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.圆的对称性第2课时垂径定理1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.(重点)3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.(难点)学习目标问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?导入新课情境引入问题:如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,A
2、D=BD⌒⌒⌒⌒理由如下:把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,AC和BC,AD与BD重合.⌒⌒⌒⌒·OABDEC讲授新课垂径定理及其推论一垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是直径,CD⊥AB,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.推导格式:温馨提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.归纳总结想一想:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?是不是,因为没有垂直是不是,因为CD没有过圆心ABOCDEOAB
3、CABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形:ABOCDEABOEDABODCABOC归纳总结如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条,命题是真命题吗?①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗?思考探索DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证:①CD是直径②CD⊥AB,垂足为E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒证明猜想如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使AE=BE.(1)CD⊥AB吗?为什么?(2)·OABCDE
4、⌒AC与BC相等吗?AD与BD相等吗?为什么?⌒(2)由垂径定理可得AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒(1)连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE,∴△AOE≌△BOE(SSS),∴∠AEO=∠BEO=90°,∴CD⊥AB.证明举例⌒⌒思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例.平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.垂径定理的推论·OABCD特别说明:圆的两条直径是互相平分的.归纳总结例1如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.·OABE解析
5、:连接OA,∵OE⊥AB,∴AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算二∴cm.典例精析例2如图,⊙O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC=2cm,求半径OC的长.·OABECD解:连接OA,∵CE⊥AB于D,∴设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得解得x=5,即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2,例3:已知:⊙O中弦AB∥CD,求证:AC=BD.⌒⌒.MCDABON证明:作直径MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.则AM=BM,CM=DM(垂直平分弦的直径平分弦所对的弧)AM-CM=BM-DM∴AC=BD⌒⌒⌒⌒
6、⌒⌒⌒⌒⌒⌒解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.归纳总结试一试:根据刚刚所学,你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用三ABOCD解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与弧AB交于点C,则D是AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.∴AB=37m,CD=7.23m.解得R≈27.3(m).即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2∴AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=
7、R-7.23.练一练:如图a、b,一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为________.CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆心到弦的距离),弓形高h的计算题时,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC·归纳总结1.已知⊙O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30
8、°则弦AC=.103cm3.(分类讨论题)已知⊙O的半径为10cm,弦MN∥EF