运筹学-第15章--对策论.ppt

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1、1在竞争过程的各方为了达到自己的目标和利益，必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案，也就是说要研究采取对抗其他竞争者的策略，这就是对策问题，对策就是决策者在竞争场合下作出的决策。对策论是研究对策的理论与方法，也叫博弈论。所谓博弈是指局中人按一定规则，在充分考虑其他局中人可能采取的策略的基础上，从自己的策略集中选取相应策略，并从中得到回报的过程。2第十五章对策论由“齐王赛马”引入3§1对策论的基本概念对策模型的三个基本要素：1.局中人：参与对抗的各方，可以是一个人，也

2、可以是一个集团，可以是两方，也可以是多方；2.策略集：局中人选择对付其它局中人的行动方案称为策略；某局中人的所有可能策略全体称为策略集；3.一局势对策的益损值：局中人各自使用一个对策就形成了一个局势，一个局势决定了各局中人的对策结果（量化）称为该局势对策的益损值。4出赛的次序是一个策略“齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）§1对策论的基本概念5其中：齐王的策略集:S1={1,2,3,4,5,6}，田忌的策略集：S2={1,2,3,4,5,6}。下面矩阵称齐王的赢得矩

3、阵：3111-1113111-1A=1-13111-111311111-13111-1113§1对策论的基本概念6二人有限零和对策（又称矩阵对策）：局中人为2；每个局中人的策略集的策略数目都是有限的；每一局势的对策均有确定的损益值，并且对同一局势的两个局中人的益损值之和为零。通常将矩阵对策记为:G={S1,S2,A}S1：甲的策略集；S2：乙的策略集；A：甲的赢得矩阵。“齐王赛马”是一个矩阵策略。§1对策论的基本概念7在甲方的赢得矩阵中：A=[aij]m×ni行代表甲方策略i=1,2,…,m；j列代表

4、乙方策略j=1,2,…,n；aij代表甲方取策略i，乙方取策略j，这一局势下甲方的益损值。此时乙方的益损值为-aij（零和性质）。在考虑各方采用的策略时，必须注意一个前提，就是双方都是理智的，即双方都是从各自可能出现的最不利的情形选择一种最为有利的情况作为决策的依据。§2矩阵对策的最优纯策略§2矩阵对策的最优纯策略8在矩阵博弈A中，aij表示局中人1的收益，因此，局中人1希望收益值aij越大越好；同时aij表示局中人2的支付或付出（局中人2的收益为-aij），因此局中人2则希望付出的aij越小越好。因

5、此，矩阵博弈完全是对抗的。一般地，如果局中人1采用他的第i个策略，则局中人2会选择策略使局中人1的收益最小，即这就是支付矩阵第i行元素中的最小元素。局中人1不存在侥幸心理，不冒险，而又追求收益越大越好，因此，他会从各行的最小元素中选择最大的，从而确定自己的策略。这就是说，局中人1可以选择i，使他得到的支付不少于（能够稳妥地保证得到该收益）9同样，如果局中人2采用他的第j个策略，由于局中人1希望自己的收益值（局中人2的支付）越大越好，即局中人1会选择策略使局中人2的支付最大，由于局中人2希望自己的支付越

6、小越好，因此，他会从支付最大中选择最小。这就是说，局中人2可以选择j，保证他失去的不大于10在矩阵博弈中，纯策略纳什均衡点存在的充分必要条件为：11例：甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每队由三名球员组成，双方都可排成三种不同的阵容，每一种阵容可以看作一种策略，双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局，规定每局胜者得1分，输者得-1分，可知三赛三胜得3分，三赛二胜得1分，三赛一胜得-1分，三赛三负得-3分。甲队的策略集为S1={1，2，3}，乙队的策略集为S2={1，2，3}。根据以往比赛的资料，有甲

7、队的赢得矩阵为A，如下所示，请问这次比赛各队采用哪种阵容上场最为稳妥?§2矩阵对策的最优纯策略12矩阵A中每行的最小元素分别为1，-3，-1。在这些最少赢得中最好的结果是1，故甲队会采取策略1，无论对手采取何策略，甲队至少得1分。对于乙队，{1，2，3}可能带来的最少赢得，即A中每列的最大元素，分别为3，1，3。乙队会采取2策略，确保甲队不会超过1分。1和2分别称为局中人甲队、乙队的最优策略。由于双方必然选择这一种策略，所以，这种策略又称为最优纯策略。这种最优纯策略只有当赢得矩阵A=（a

8、ij）中等式成立时，双方才有最优纯策略，并把（1,2）称为对策G在纯策略下的解，又称（1,2）为对策G的鞍点。把其值V称之为对策G={S1，S2，A}的值。§2矩阵对策的最优纯策略13例某单位采购员在秋天决定冬季取暖用煤的储量问题，已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖和较冷的天气下要消耗10吨和20吨。假定冬天的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖和、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为10元、15元、20元。又设冬季时煤炭价格为每吨