高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.4绝对值的三角不等式课件新人教B版.pptx

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1、1.4绝对值的三角不等式1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值的不等式的几何意义证明不等式.2.会用绝对值三角不等式的两个性质定理证明简单的含绝对值的不等式以及解决含绝对值的不等式的最值问题.1.定理1(绝对值的三角不等式)及推论(1)若a,b为实数,则

2、a+b

3、≤

4、a

5、+

6、b

7、,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)推论1:

8、

9、a

10、-

11、b

12、

13、≤

14、a+b

15、.推论2:

16、

17、a

18、-

19、b

20、

21、≤

22、a-b

23、.名师点拨(1)定理1还可以变形为

24、a-b

25、≤

26、a

27、+

28、b

29、,等号成立的充要条件是ab≤0.(2)这个定理是含有绝对值的不等式中一个非常重要的不等式,证明的最重要依据是

30、对于一切实数a,b,都有

31、a

32、≤

33、b

34、⇔a2≤b2⇔

35、a

36、2≤

37、b

38、2.(3)注意等号成立的条件是ab≥0,与以前学习过的不等式有所不同.(4)根据定理及推论易得:

39、

40、a

41、-

42、b

43、

44、≤

45、a±b

46、≤

47、a

48、+

49、b

50、.【做一做1-1】已知实数a,b满足ab<0,那么有()A.

51、a-b

52、<

53、a

54、+

55、b

56、B.

57、a+b

58、>

59、a

60、-

61、b

62、C.

63、a+b

64、<

65、a-b

66、D.

67、a-b

68、<

69、

70、a

71、-

72、b

73、

74、解析:∵ab<0,∴a,b异号,∴

75、a-b

76、>

77、a+b

78、成立.答案:C【做一做1-2】若

79、a-c

80、

81、a

82、<

83、b

84、+

85、c

86、B.

87、c

88、<

89、a

90、+

91、b

92、

93、C.b>

94、

95、c

96、-

97、a

98、

99、D.b<

100、a

101、-

102、c

103、解析:由

104、a-c

105、0,∴b=

106、b

107、.∵

108、a

109、-

110、c

111、≤

112、a-c

113、,∴

114、a

115、-

116、c

117、

118、a

119、

120、c

121、=

122、b

123、+

124、c

125、,故选项A成立.同理,由

126、c

127、-

128、a

129、≤

130、a-c

131、,得

132、c

133、-

134、a

135、

136、c

137、<

138、a

139、+b=

140、a

141、+

142、b

143、.故选项B成立.而由选项A成立,得

144、c

145、-

146、a

147、>-

148、b

149、,由选项B成立,得

150、c

151、-

152、a

153、<

154、b

155、,∴-

156、b

157、<

158、c

159、-

160、a

161、<

162、b

163、,即

164、

165、c

166、-

167、a

168、

169、<

170、b

171、=b.故选项C成立.由选项A成立知选项D不成立,故选D.答案:D2.定理2(三个实数的绝对值的三角不等式)设

172、a,b,c为实数,则

173、a-c

174、≤

175、a-b

176、+

177、b-c

178、,等号成立⇔(a-b)(b-c)≥0,即b落在a,c之间.名师点拨(1)在应用定理1证明定理2时,用到了a-c=(a-b)+(b-c)这一条件,这种处理问题的方法在解决不等式问题时常用到,在处理实际问题时应特别注意.(2)应用定理时应特别注意条件、适用范围及等号成立的条件.【做一做2】函数y=

179、x-1

180、+

181、x+3

182、的最小值为.解析:y=

183、x-1

184、+

185、x+3

186、=

187、1-x

188、+

189、x+3

190、≥

191、1-x+x+3

192、=4,当且仅当(1-x)(x+3)≥0,即-3≤x≤1时,等号成立,故当-3≤x≤1时,函数取得最小值4.答案

193、:4如何理解绝对值的三角不等式的几何意义?剖析:用向量a,b替换实数a,b时,问题就从一维扩展到二维,当向量a,b不共线时,a+b,a,b构成三角形,有

194、a+b

195、<

196、a

197、+

198、b

199、.当向量a,b共线时,a,b同向(相当于ab≥0)时,

200、a+b

201、=

202、a

203、+

204、b

205、;a,b异向(相当于ab<0)时,

206、a+b

207、<

208、a

209、+

210、b

211、,这些都是利用了三角形的性质定理,如两边之和大于第三边等,这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆定理,并利于定理的应用.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度”还要仔细把握,如下面的式子:

212、a

213、-

214、b

215、≤

216、

217、a

218、-

219、

220、b

221、

222、≤

223、a+b

224、≤

225、a

226、+

227、b

228、.我们较为常用的形式是

229、a

230、-

231、b

232、≤

233、a+b

234、≤

235、a

236、+

237、b

238、,但有些同学就会误认为只能如此,而实质上,

239、a+b

240、是不小于

241、

242、a

243、-

244、b

245、

246、的,

247、a

248、-

249、b

250、不一定是正数,当然,这需对绝对值不等式有更深的理解,从而使放缩的“尺度”更为准确.题型一题型二题型三利用绝对值不等式证明不等式【例1】设m等于

251、a

252、,

253、b

254、和1中最大的一个,当

255、x

256、>m时,求证分析:本题的关键是对题设条件的理解和运用.

257、a

258、,

259、b

260、和1这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m≥

261、a

262、,m≥

263、b

264、,m≥1.题型一

265、题型二题型三反思分析题目时,题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据,而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来,那么准确理解题目中的文字语言,适时准确地进行转化也就成了解题的关键,如本题中题设条件中的文字语言“m等于

266、a

267、,

268、b

269、,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥

270、a

271、,

272、m

273、≥

274、b

275、,m≥1”是证明本题的关键.题型一题型二题型三利用绝对值的三角不等式求函数的最值【例2】求函数y=

276、x-3

277、-

278、x+1

279、的最大值和最小值.分析:若把x-3,x+1看作两个实数,则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式,因而可以联想到两个数和(差)的绝对

280、值与两个数绝对值的和(差