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1、1.2椭圆知识点总结：一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P
2、
3、PF1
4、+
5、PF2
6、=2a，2a＞
7、F1F2
8、=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹）。2．标准方程：①焦点在x轴上：（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）②焦点在y轴上：（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：或者mx2+ny2=1二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆
9、（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）30（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（3）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图形xOF1F2PyA2A1
10、B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦点焦距离心率（离心率越大，椭圆越扁）通径（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e（），是圆；e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；30注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。小结：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5．椭圆的的内外部（1）点在椭圆
11、的内部.（2）点在椭圆的外部.6.几何性质（1）最大角（2）最大距离，最小距离三、弦长公式：其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出，；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是：注意（1）上面用到了关系式和30注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且
12、线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。法（二）：用点差法，设，，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e(求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是
13、e﹥1)例题讲解：一.椭圆定义：１．方程化简的结果是2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为二．利用标准方程确定参数1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.302.椭圆的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,3．椭圆的焦距为，则=。4．椭圆的一个焦点是，那么。三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经
14、过点，，则该椭圆的标准方程为。2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为4.已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。四．焦点三角形1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是。2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？303．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为。变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点． 若，求的面积．五．离心率的有关问题1.椭圆的离心率为，则2.从椭圆短轴的一个端点看
15、长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三
