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1、1.2椭圆知识点总结:一.椭圆及其标准方程1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P
2、
3、PF1
4、+
5、PF2
6、=2a,2a>
7、F1F2
8、=2c};这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。(时为线段,无轨迹)。2.标准方程:①焦点在x轴上:(a>b>0);焦点F(±c,0)②焦点在y轴上:(a>b>0);焦点F(0,±c)注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:或者mx2+ny2=1二.椭圆的简单几何性质:1.范围(1)椭圆
9、(a>b>0)横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b(2)椭圆(a>b>0)横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3.顶点(1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)30(2)线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(3)椭圆的标准方程、图象及几何性质:中心在原点,焦点在轴上中心在原点,焦点在轴上标准方程图形xOF1F2PyA2A1
10、B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶点对称轴轴,轴;短轴为,长轴为焦点焦距离心率(离心率越大,椭圆越扁)通径(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)4.离心率(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,记作e(),是圆;e越接近于0(e越小),椭圆就越接近于圆;e越接近于1(e越大),椭圆越扁;30注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。小结:基本元素(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量),特征三角形(2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点)(3)基本线:对称轴(共两条线)5.椭圆的的内外部(1)点在椭圆
11、的内部.(2)点在椭圆的外部.6.几何性质(1)最大角(2)最大距离,最小距离三、弦长公式:其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程设,,由韦达定理求出,;(3)代入弦长公式计算。法(二)若是联立两方程,消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是:注意(1)上面用到了关系式和30注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且
12、线段的长度为定值,求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程设,,由韦达定理求出;(3)设中点,由中点坐标公式得;再把代入直线方程求出。法(二):用点差法,设,,中点,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出。六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e(求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是
13、e﹥1)例题讲解:一.椭圆定义:1.方程化简的结果是2.若的两个顶点,的周长为,则顶点的轨迹方程是3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为二.利用标准方程确定参数1.若方程+=1(1)表示圆,则实数k的取值是.(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是.(3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是.(4)表示椭圆,则实数k的取值范围是.302.椭圆的长轴长等于,短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是,离心率等于,3.椭圆的焦距为,则=。4.椭圆的一个焦点是,那么。三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经
14、过点,,则该椭圆的标准方程为。2.焦点在坐标轴上,且,的椭圆的标准方程为3.焦点在轴上,,椭圆的标准方程为4.已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0),求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;变式:求与椭圆共焦点,且过点的椭圆方程。四.焦点三角形1.椭圆的焦点为、,是椭圆过焦点的弦,则的周长是。2.设,为椭圆的焦点,为椭圆上的任一点,则的周长是多少?的面积的最大值是多少?303.设点是椭圆上的一点,是焦点,若是直角,则的面积为。变式:已知椭圆,焦点为、,是椭圆上一点. 若,求的面积.五.离心率的有关问题1.椭圆的离心率为,则2.从椭圆短轴的一个端点看
15、长轴两端点的视角为,则此椭圆的离心率为3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三