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时间:2020-03-30
《数学选修2-3-涂色问题.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、涂色问题解题通法定理1(直线型结构):用种颜色给如图所示的由个区域组成的直线型结构图涂色,则总的不同涂法有种.证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。定理2(星型结构):用种颜色给如图所示的由个区域组成的星型结构图涂色,则总的不同涂法有种.证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。定理3(环形结构):用种颜色给如图所示的由个区域组成的环形结构图涂色,则总的不同涂法有种.证明:(中头尾不同的涂法数为,头尾相同时,头尾看作一个区域,涂法数为),即,∴,求通项即可或定理4(全连通型结构):用种颜色给由个区域组成的全连通型结构图(任何两个区域都连通,如图)涂色,则总的不同涂法有种.证明:任何两
2、个区域都连通,所以颜色各不相同。方法应用例1.将三种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植一种作物,不同的种植方法有种.(以数字作答)答:结构抽象如右图,涂法数为:例2.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种.(以数字作答)答:结构抽象如右图,涂法数为:(先涂中间)例3.用种不同的颜色为下列两块广告牌着色,要求在1,2,3,4四个区域中相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色,(Ⅰ)若,为左图着色时共有多少种不同的方法?(Ⅱ)若为右图着色时,共有1
3、20种不同的方法,求的值.答:结构抽象如右图,(Ⅰ)涂法数为:,(先涂三角形结构)(Ⅱ)涂法数为:,∴例4.用种不同的颜色为下图中的5个区域着色,要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色,共有多少种不同的方法?答:结构抽象如右图,先涂的三角形,再涂,最后涂,共有多少种不同的方法136245例5.用种不同的颜色为下列两块广告牌着色,要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色,共有多少种不同的方法?答:结构抽象如右图,(先涂,再涂线型结构).例6.(2008重庆)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题(16)图所示的6个点上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每
4、种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种(用数字作答).答:引申:若有种颜色的灯泡,则不同的安装方法共有种。若下、上层对应点灯泡颜色允许相同,则共有种涂法;下、上层有且只有一组对应点颜色相同,则可以把同色的两点看成一点,则几何体为四棱锥,抽象图如下左,不同的涂法有种;下、上层有且只有两组对应点颜色相同,则可以把同色的两点看成一点,则几何体为四面体,抽象图如下右,不同的涂法有种;下、上层三组对应点颜色都相同,则可以把同色的两点看成一点,则几何体退化为三角形,不同的涂法有种。由容斥原理知,不同的涂法有简单的组合结构练习1.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用
5、同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种(以数字作答)21534答:结构抽象如右图,涂法数为:(先涂中间)2.用M种颜色去涂上图所示的各个结构图,共有多少种不同的涂法?答:(1)(先涂三角形);(2)(先涂三角形);(3)(先涂三角形);(4)(先涂中间三角形);(5)(先涂,再涂线型结构).
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