2019版高考数学（理）大一轮复习讲义 第十四章 选修 第十四章 14.2 第2课时(2).pptx

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1、§14.2不等式选讲第2课时　不等式的证明基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识　自主学习(1)比较法：①求差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法.1.不等式证明的方法知识梳理②求商比较法：a－b>0(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止.这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法.这种证明不等式的方法称为综合法.(4)放缩法和反证法

2、：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法.反证法是常用的证明方法.它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立.其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论.(5)数学归纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题.证明需要经过两个步骤：①验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确.②假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确.在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始

3、的所有正整数都正确.2.几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

4、α

5、

6、β

7、≥

8、α·β

9、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.(ac＋bd)2考点自测解答≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.解答∵x>0，y>0，解答题型分类　深度剖析例1(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；题型一　用综合法与分析法证明不等式证明因为x>0，y>0，x－y>0，证明只需证

10、明(a＋b＋c)2≥3.所以原不等式成立.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.跟踪训练1设a、b、c均为正数，

11、且a＋b＋c＝1，证明：证明由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.证明当

12、a＋b

13、＝0时，不等式显然成立.题型二　放缩法证明不等式证明当

14、a＋b

15、≠0时，思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：②利用函数的单调性；(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.跟踪训练2证明由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得…∴原不等式成立.题型三　柯西不等式的应用证明(2)若x＋2y＋3z＝6

16、，求x2＋y2＋z2的最小值.解答思维升华(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.证明由柯西不等式及题意得，又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)课时作业解答123456789101.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.12345678910解答1234567891012345678910解答1234567891012345678910解答12345678910证明又a＋b＋c>0，123456789106.已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，

17、求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值.解答12345678910由柯西不等式得12345678910(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立.12345678910证明(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1