高考数学专题复习课件：第十四章 14_2 第2课时.pptx

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1、§14.2不等式选讲第2课时　不等式的证明基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识　自主学习(1)比较法：①作差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明即可，这种方法称为作差比较法.②作商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明即可，这种方法称为作商比较法.1.不等式证明的方法知识梳理a－b>0(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充

2、分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法.(4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法.②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.(5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整

3、数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(当且仅当ad＝bc时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

4、α

5、

6、β

7、≥

8、α·β

9、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.2.几个常用基本不等式(ac＋bd)2考点自测解答解答≤(12＋12＋12)(

10、a＋b＋c)＝3.∵x>0，y>0，解答题型分类　深度剖析例1(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；题型一　用综合法与分析法证明不等式证明因为x>0，y>0，x－y>0，证明只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.所以原不等式成立.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所

11、以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.跟踪训练1设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：证明由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.证明例2若a，b∈R，求证：当

12、a＋b

13、＝0时，不等式显然成立.当

14、a＋b

15、≠0时，题型二　放缩法证明不等式证明思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：②利用函数的

16、单调性；③真分数性质“若00，(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.跟踪训练2证明由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得…∴原不等式成立.题型三　柯西不等式的应用证明(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.解答思维升华(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.证明由柯西不等式及题意得，课时作业解答123456

17、789101.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.12345678910解答即a＝－2.1234567891012345678910解答12345678910由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，解答12345678910证明又a＋b＋c>0，123456789106.已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋