简化解析几何繁难运算的有效策略.pdf

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1、第8期高中数学教与学简化解析几何繁难运算的有效策略肖燕勤(福建省永安市第一中学，366000)根据每年高考统计的结果，解几题的得解析第(1)小题(解略)分都偏低．学生对解几题普遍有“恐惧心理”，第(2)小题求出点T的坐标已不易，再想主要是恐惧它的繁难冗长的运算过程．解析求出点M的坐标，就难上加难．倘若我们善于几何真的有那么难吗?本文结合自己的教学进行等价转化，就不难选择出合理的运算路体会，谈谈化简解析几何繁难运算的有效策径，从而将困扰我们的问题巧妙避开．略．假设存在a，使得O，M，S三点共线．一、转换视角，避难趋易“点M在以SB为直径的圆上”SM⊥

2、在做解几题时，我们要善于转换解题的→→BMOM⊥BMOS⊥BTOS·BT=0．角度，将问题进行化归与转化，把复杂的、生这样，就可以避开“求M点坐标”的繁难疏的、抽象的、困难的、未知的问题，通过观察、冗长的运算过程，只要求出T点的坐标就可以分析、类比、联想等思维过程，将其转化为简了．设直线AS的方程y=k(x+a)．单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来2x2+y=1，解决，就能避难趋易，大大减少运算量．2由{a得例1(2009年福建高考题)已知A，B分y=k(x+a)，2x22222422别为曲线C:+y2=1(y≥0，a＞0)与x

3、轴(1+ak)x+2akx+ak－a=0．2a设点T(xT，yT)，则的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂22232ak－aa－akx－(－a)=，x=，直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线CT1+a2k2T1+a2k2于点T．2aky=k(x+a)=，)TT221+ak(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三32a－ak2ak等分点，试求出点S的坐标;亦即T，．(2222)1+ak1+ak(2)如图1，点M是以SB为直径的圆与线4222→→－2ak+4ak段TB的交点，试问:是否存在实数a，使得O，再由BT·OS=2=0，1+a

4、k2M，S三点共线?若存在，求出a的值，若不存4222得－2ak+4ak=0．在，请说明理由．∵k＞0，a＞0，∴a=槡2．%yl二、深入探究，拨云见月ST在解题过程中，常用“特例法探路，再作M一般性的证明”这一解题策略．“特例法探路”AOBx为探究指明了方向，有效地避免解题的盲目图1性，可谓“拨开云雾见月明”．例2已知椭圆C的离心率e=槡3，长轴2·45·高中数学教与学2013年的左右端点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)．(1)求椭圆C的方程;(1)求椭圆C的方程;(2)若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x(2)设直线x=my+1与椭圆C交于

5、P、=4与x轴交于N，直线AF与BN交于点M，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S．试问:当m求证:点M恒在椭圆C上．2变化时，点S是否恒在一条定直线上?若是，请解析(1)由题设a=2，c=1，从而，b22写出这条直线方程，并证明你的结论;若不22xy=a－c=3，易得椭圆C的方程为+=是，请说明理由．43本题的第(2)问着重考查学生对解题思1．路的探究．如果机械地套用求轨迹的方法进(2)解法1由题意得F(1，0)，N(4，0)．行解题，将陷入复杂运算的泥潭，使问题复杂设A(m，n)，则B(m，－n)(n≠0)，且22化，而且很难得出正确结论．倘若按照

6、“特例mn+=1．①43探究———大胆猜想———严格证明”的解题思AF与BN的方程分别为路，则可以圆满地解决此题:取m=0，得n(x－1)－(m－1)y=0，33P1，槡，Q1，－槡．直线AP的方程为y=()()1n(x－4)+(m－4)y=0．22槡333设M(x0，y0)，则有x+槡，直线AQ的方程为y=槡x－槡3，交2n(x－1)－(m－1)y=0，②63200n(x－4)+(m－4)y=0．③3300点为S(4，槡3);或取P(1，－槡)，Q(1，槡)，由22由②、③，得`5m－83n对称性可知交点为S(4，－槡3)．若点S在同一x=，y=．

7、002m－52m－5条直线上，则可猜想出直线方程为l:x=4;然x2y222后证明对于任意的m，直线A1P与直线A2Q的则有0+0=(5m－8)+3n22434(2m－5)(2m－5)交点S均在直线l:x=4上．22(5m－8)+12n三、活用知识，峰回路转=24(2m－5)由于解析几何中所涉及的曲线具有“数”22(5m－8)+36－9m与“形”的双重性，数形结合是解析几何的基=24(2m－5)本思想方法．在解题过程中，往往几何性质用=1，得越多，代数运算过程就越少，离解题成功就所以点M恒在椭圆C上．越近．因此在解答解析几何问题时应充分挖在求证“点M

8、恒在椭圆C上”时，法1用掘并运用几何性质，以达到简化运算的目的．的是纯代数运算，较为繁琐．倘若善于运用圆22