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1、简化解析几何中的运算关键字圆锥曲线定义平面儿何特征合理引参简化运算摘要充分利用圆锥曲线的定义或利用图形的平面儿何特征，合理引入参数，尽可能借助曲线系的方程简化运算。在解析几何里，面对同样一个问题往往可有多种解题方法，但是各种解法的运算量常常有很大的差异.所以如何选择合理的解题方案对简化解题过程中的运算量显得尤为重要.一般地，欲简化解析儿何屮解题的运算过程，可以从如下儿个方面考虑：(1)充分利用圆锥曲线的定义22例1、已知点F是椭圆—+^-=1的右焦点，M是该椭圆上的动点，A的坐标为259(2,2),求网+#阿的最小值
2、.分析：若设岀M的坐标，进而转化为两个根式运算，形式繁杂，不易求解.此时利用椭圆的第二定义，便可轻松解出.解：如图：由椭圆的第二定义得：=M^+d>M^+MAX
3、=
4、^,
5、=—(其中d为点M到右准线的距离，e为离心率)当且仅当M的坐标为(—,2)时取等号.3此题倘若求
6、M4
7、+
8、mf
9、的最小值，你会怎么办呢？点评：定艾是导岀其解析性质的''发源地”.圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性，若能熟练应用于解题，常能收到事半功倍之效.(1)有意识利用图形的平面几何特征例2、过抛物线尹上一点力(1,1)作抛物线的
10、切线交x轴于D交y轴于点C在抛物线上，E在线段/C上，一二=人，F在线段ECBFBC上，一=入，且久］+22=1,线段CQ与EF交于当C在抛FC物线上移动时，求P的轨迹方程.分析：本题若先求出直线CD、EF的直线方程，再利用“交轨法”消去参数，势必运算量很大，能否结合平面几何知识获得点P的几何特征呢？解：过抛物线上点A的切线斜率为#=2x
11、口=2,即切线AB方程为y=2x-lf•••B,D的坐标为3(01),硝,0),即D为线段AB的中点.令y==空=1+2人=0=1+2则(=3.CP'CE-CF2-・・・AD为AA
12、BC的中线，・・・S^bc=2S”)=2S“g12(“/(2丫丿/2屮2了33:.7-—2而］_CE•CF_S述卩_S、cep+SmfpCA•CBS、cab2Sg°2S、cbd•••卩是厶ABC的重心•设P(x,j^),C(x0,x02),因点C异于A,则x()H1,故重心P的坐标为^=O±l±^=l±xL2-1+1+V333"消去心得：y=J_(3x_l)2故所求的轨迹方程为；；=l(3x-l)2,2x丰一3点评：结合平面几何知识获得点P的几何特征——P为ABC的重心，解题过程轻松自在又流畅.这一点在近几年的高考
13、中也多次考查.(2)注重实施“设而不求，整体代换”的解题策略例3、已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA+OB与。=(3,—1)共线.(I)求椭圆的离心率；(II)设M为椭圆上任意一点，且0M=AO4+juOB(几,“丘R),证明才+/?为定值.分析：对于直线与圆锥曲线相交问题，一般要联立方程，设出交点坐标，利用韦达定理建立所求变量的方程.解：（I）设椭圆方程为斗+斗=i（a>b>O）,F（c,O）,cT则直线AB的方程为y=x-c,代入4+4=1cTb~化简
14、得（/+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.X]+x22a2ca2c2-a2b2^TF，X，X2=由CM+OB=（x1+吃,M+尹2），a=（3,-1）,OA+OB^a共线，得3®+%）+（“+*2）=0・又•••••y}=“-c,y2=x2一g3（x）+x2-2c）+（X]+x2）=0,3cXl+*2=—•GP•••2几3c,所以/=3决.a2+6-23故离心率€=—=a3（II）证明：由（I）知/=3沪，所以椭圆^1+4=1可化为〒+3_/=3戸.（Tb~设OM=（兀』）,由已知得（x,y）=2（“丿
15、1）+“O2小），•••（Ax}+/zr2）2+3（勺］+juy2）2=3b2.即/I2（X）2+3尹；）+“2（x；+3尹；）+2农（兀］兀2+3尹必）=3b2.①由(I)知X]+x°=—c,a2——c2,b2=—c2.1-222a2c2-a2b23r・•・x.x?=；=—c~.12a2+b28/.XlX2+3尹[旳=兀1+兀2+3(兀1_c)(兀2_c)=4x{x2-3(x,+%2)c+3c°329—2=—c2—L+3c，22=0.又兀1+3昇=3胪工+3元=3胪又，代入①得才+“2=1.故/+/?为定值，定值为
16、i.点评：对于有些解几问题，设置的未知元有好几个，而据所列方程把每个未知元求出比较困难，或根本求不出，这时可以考虑利用韦达定理等把某些量组成“集成块”，整体求出，减少运算量.(1)合理引参，简化运算例4、己知点A(0,2)禾U抛物线y2=x+4上两点B、C使得AB丄BC,求点C的纵坐标的取值范围.分析：求变量的取值范围可以借助函数、方程、不等式
