2018届高三数学复习平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理.pptx

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1、理数课标版第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1.平面向量的数量积(1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.当①θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b;当②θ=0°时,a与b同向;当③θ=180°时,a与b反向.教材研读(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把数量a·b·cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b=④a·b·cosθ.(3)规定0·a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a与b的夹角,则acosθ叫做a在b的方向上的投影,bcosθ叫

2、做b在a的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个实数,而不是向量.(5)a·b的几何意义a·b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosθ的乘积.2.向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=a·cosθ.(2)a⊥b⇔⑤a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=ab.当a与b反向时,a·b=-ab.特别地,a·a=a2.(4)cosθ=⑥.(5)a·b≤a·b.3.向量的数量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(3)(a+b)·c=a·c

3、+b·c.4.平面向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=⑦x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则a·a=a2=a2=x2+y2,a=⑧.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=⑨,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则a⊥b⇔⑩x1x2+y1y2=0.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(√)(2)由a·b=0,可得a=0或b=0.(×)(3)两向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+

4、y1y2=0.(×)(4)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.(×)(5)a·b=a·c(a≠0),则b=c.(×)1.两个非零向量a、b互相垂直,给出下列式子:①a·b=0;②a+b=a-b;③a+b=a-b;④a2+b2=(a-b)2;⑤(a+b)·(a-b)=0.其中正确的式子有()A.2个    B.3个    C.4个    D.5个答案B①显然正确;由向量运算的三角形法则知a+b与a-b长度相等、方向不同,所以②错误,③正确;由向量数量积的运算律可知(a-b)2=a2+b2,故④正确;只有在a=b时,a+b与a-b才垂直,⑤错误

5、.故选B.2.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8    B.-6    C.6    D.8答案D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D.3.设向量a,b满足a=b=1,a·b=-,则a+2b=()A.B.C.D.答案Ba+2b====.4.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且a+b2=a2+b2,则m=.答案-2解析由a+b2=a2+b2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.5.(2016临沂模拟

6、)已知向量a=1,b=2,a⊥(a-b),则向量a与b的夹角大小是.答案解析设向量a与b的夹角大小是θ,则由题意可得a·(a-b)=a2-a·b=1-1×2×cosθ=0,解得cosθ=,所以θ=.考点一平面向量数量积的运算典例1(1)(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为()A.-B.C.D.(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的最大值为.答案(1)B(2)1解析(1)建立平面直角坐标系,如图.考点突破则B,C,A,所以=(1,0).易知DE

7、=AC,则EF=AC=,因为∠FEC=60°,所以点F的坐标为,所以=,所以·=×(1,0)=.故选B.(2)如图所示,分别以AB,AD所在的直线为x轴,y轴建立直角坐标系,则D(0,1),C(1,1),=(1,0),设E(t,0),则0≤t≤1,=(t,-1),所以·=t≤1.所以·的最大值为1.方法技巧向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=abcosθ.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1