2017届高三数学二轮复习专题二函数导数不等式1.2.5导数的综合应用课件理.pptx

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1、第五讲导数的综合应用热点考向一利用导数研究较复杂函数的零点或方程的根命题解读:主要考查利用导数来判断函数的零点或方程根的个数,或者依据函数的零点、方程的根存在的情况求参数的值(或取值范围),三种题型都有可能出现.【典例1】(2016·开封一模)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的单调增区间.(2)当0<-

2、f(x)

3、=是否有实数根.【解题导引】(1)先求函数f(x)的定义域为{x

4、x>0},再代入求导f′(x)=,从而确

5、定函数的单调区间.(2)令f′(x)=a+=0,解得x=-;从而确定单调性及最值,进而求出a值.(3)由(1)知当a=-1时,f(x)max=f(1)=-1,从而得

6、f(x)

7、≥1;再令g(x)=则g′(x)=;从而求最值即可.【规范解答】(1)由已知知函数f(x)的定义域为{x

8、x>0},当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=;当00;当x>1时,f′(x)<0;所以f(x)的单调增区间为(0,1).(2)因为f′(x)=a+,令f′(x)=0,解得x=-;由f′(x)>0解得0

9、x

10、f(x)

11、≥1.令g(x)=,则g′(x)=.当00;当x>e时,g′(x)<0,从而g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.所以g(x)max=g(e)=<1,所以,

12、f(x)

13、>g(x),即

14、f(x)

15、>,所以,方程

16、f(x)

17、=没有实数根.【母题变式】1.若本例中函数在(0,+∞)上有两个零点,求实数a的取值范围.【解析】因为f′(x

18、)=a+,①当a=0时,f(x)=lnx有一个零点,不符合要求.②当a>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,x→0时,f(x)→-∞,又f(1)=a>0,故f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,不符合要求.③当a<0时,当00,f(x)在上单调递增,当x>-时f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f=-1+ln,要使f(x)在(0,+∞)上有两个零点,只需f(x)max>0,即-1+ln>0,解得

19、x2-2x+m公共点的个数.【解析】由(3)知当a=-1时,f(x)max=-1,其图象如图所示.而y=φ(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,其图象是以x=1为对称轴开口向上的抛物线,数形结合得当m-1<-1,即m<0时,有两个公共点.当m-1=-1,即m=0时,有一个公共点.当m-1>-1,即m>0时,无公共点.【规律方法】1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点的一般思路(1)转化为可用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题.(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)

20、、端点值等性质,进而画出其图象.(3)结合图象求解.2.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值结构方程根的个数问题的一般方法将问题转化为可用导数研究的某函数的零点问题或用导数能研究其图象的两个函数的交点个数问题求解.3.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步:利用导数证明该函数在该区间上单调.第二步:证明端点值异号.【题组过关】1.(2016·邯郸一模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若f(x1)=x1

21、C.5D.6【解题指南】由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根,必有Δ=4a2-12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的Δ1=Δ>0,可知此方程有两解且f(x)=x1或x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解的个数.【解析】选A.因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4a2-12b>0.解得因为x1

22、2+2af(x)+b=0的Δ1=Δ>0,所以此方程有两解且f(x)=x1或x2.不妨取0