2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修4-§5.docx

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1、知识点一　平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ投影

10、a

11、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

12、b

13、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

14、a

15、与b在a的方向上的投影

16、b

17、cosθ的乘积特别提醒：(1)两非零向量a＝，b＝，则a与b夹角为∠AOB，其范围是[0，π]；(2)数量积是一个实数；(3)零向量与任一向量的数量积为零．知识点二　平面向量数量积的性质及运

18、算律1．数量积的重要性质对于非零向量a，b，(1)e·a＝a·e＝

19、a

20、cosθ，其中θ为a与e的夹角，e为单位向量；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝

21、a

22、

23、b

24、；当a与b反向时，a·b＝－

25、a

26、

27、b

28、，a·a＝

29、a

30、2，

31、a

32、＝；(4)cosθ＝，其中θ为a与b的夹角；(5)

33、a·b

34、__≤__

35、a

36、

37、b

38、.2．数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.知识点三　平面向量数量积

39、、模、夹角的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)

40、a

41、＝或

42、a

43、2＝x＋y.(3)cosθ＝＝.知识点四　向量垂直的充要条件设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)．题型一　向量的夹角与模的问题例1　(1)(2016年10月学考)设向量a＝(x－2,2)，b＝(4，y)，c＝(x，y)，x，y∈R，若a⊥b，则

44、c

45、的最小值是(　　)A.B.C.D.(2)(2016年4月学考

46、)已知平面向量a，b满足

47、a

48、＝，b＝e1＋λe2(λ∈R)，其中e1，e2为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量a，b恒有

49、a－b

50、≥，则e1，e2夹角的最小值为(　　)A.B.C.D.答案　(1)B　(2)B解析　(1)由题意得a·b＝(x－2,2)·(4，y)＝0，即2x＋y＝4.方法一　∴

51、c

52、＝＝＝＝≥.方法二　∵

53、c

54、＝，即直线2x＋y－4＝0上的点(x，y)到原点(0,0)的距离，∴

55、c

56、min＝＝.(2)∵

57、a－b

58、≥，∴a2－2a·b＋b2＝

59、b

60、2－

61、b

62、cos〈a，b

63、〉＋≥，∴

64、b

65、2－

66、b

67、cos〈a，b〉≥0，即

68、b

69、≥cos〈a，b〉．即

70、b

71、≥，∴

72、e1＋λe2

73、2≥，设e1与e2的夹角为θ，则e＋2λ

74、e1

75、

76、e2

77、cosθ＋λ2e≥，∵

78、e1

79、＝

80、e2

81、＝1，则λ2＋(2cosθ)λ＋≥0，∴Δ＝4cos2θ－4×≤0，∴－≤cosθ≤，又θ∈[0，π]，∴θ的最小值为.感悟与点拨　(1)求夹角或模可以直接利用公式：cosθ＝＝，

82、a

83、＝.(2)利用

84、a

85、2＝a2，即

86、a

87、＝.(3)利用方程与函数的思想构建关于角或模的函数或方程求解．跟踪训练1　(

88、1)已知向量a与b的夹角为120°，

89、a

90、＝3，

91、a＋b

92、＝，则

93、b

94、等于(　　)A．1B．3C．4D．5(2)(2018年4月学考)若平面向量a，b满足2a＋b＝(1,6)，a＋2b＝(－4,9)，则a·b＝________.(3)已知△ABC外接圆的圆心为O，且＋＋2＝0，则∠AOC＝________.答案　(1)C　(2)－2　(3)解析　(1)根据条件，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－3

95、b

96、＋

97、b

98、2＝13，解得

99、b

100、＝4或

101、b

102、＝－1(舍去)．(2)∵2a＋b＝(1,6)，a＋

103、2b＝(－4,9)，∴a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴a·b＝(2,1)·(－3,4)＝－6＋4＝－2.(3)设

104、OA

105、＝

106、OB

107、＝

108、OC

109、＝1，＋2＝－，两边平方，∴12＋4··＋4×12＝3×12，∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，∵0＜∠AOC＜π，∴∠AOC＝.题型二　向量的平行与垂直例2　已知平面向量a＝(2，x)，b＝(2，y)，c＝(3，－4)，且a∥c，b⊥c，则a与b的夹角为________．答案　解析　∵a∥c，∴－8－3x＝0，解得x＝－.∵b⊥c，∴6－4y＝0，解得y＝.

110、∴a＝，b＝.设a与b的夹角为θ，且θ∈[0，π]，则cosθ＝＝＝0，∴θ＝，即向量a与b的夹角为.(2)在△ABC中，点A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为边BC上的高，求与点D的坐标．解　设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，∵点D在直线BC上，即，共线，∴存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴得x－2y＋1＝0.①又∵⊥，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，即2x＋