2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修5-§1.docx

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1、知识点一　正弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理内容(1)＝＝＝2R变形(2)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(4)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(5)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA知识点二　余弦定理定理余弦定理内容a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形cos

2、A＝；cosB＝；cosC＝知识点三　三角形面积公式1．S△ABC＝ah(h表示边a上的高)．2．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.3．S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)．知识点四　解三角形1．已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.2．已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．3．已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求

3、C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a，b，c，可以应用余弦定理求A，B，C.5．判断三角形的形状通常利用正、余弦定理进行边角互化，根据边的关系或角的关系确定三角形的形状．6．在△ABC中，a＞b＞c⇔A＞B＞C⇔sinA＞sinB＞sinC.题型一　正、余弦定理的应用例1　(1)(2017年4月学考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，A＝60°，B＝45°，则b的长为(　　)A.B．1C.D．2(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a

4、＝2，c＝2，cosA＝且b＜c，则b等于(　　)A．3B．2C．2D.答案　(1)C　(2)C解析　(1)由正弦定理＝得，b＝＝＝.(2)由b2＋c2－2bccosA＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b＜c＝2，所以b＝2.感悟与点拨　(1)一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，就要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，就考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．跟踪训练1　(1)(201

5、8年4月学考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，则cosC的取值范围是________．答案　解析　设BC＝a，由22＝a2＋32－2×3×acosC，得cosC＝＝＋≥2＝，当且仅当a＝时，等号成立．∴≤cosC＜1.(2)(2016年10月学考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C＝cosC，C为锐角．①求角C的大小；②若a＝1，b＝4，求边c的长．解　①由sin2C＝cosC，得2sinCcosC＝cosC，因为C为锐角，所以cosC≠0，从而sinC＝.故角C的大小是.②

6、由a＝1，b＝4，根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos＝13，所以边c的长为.题型二　判断三角形的形状例2　(2016年4月学考)在△ABC中，已知A＝30°，AB＝3，BC＝2，则△ABC的形状是(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定答案　A解析　由正弦定理＝，得sinC＝＝＝，cosC＝±＝±，当cosC＝－时，C为钝角，则△ABC为钝角三角形．当cosC＝时，cosB＝cos[180°－(A＋C)]＝－cos(A＋C)＝－＝－＝－<0，∴B为钝角．故△ABC为钝角三角形．感悟与

7、点拨　依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解　∵sinC＋sin(B－A)＝sin2A，∴

8、sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，∴2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0.①当cosA＝0即A＝时，△ABC为直角三角形．②当sinA－sinB＝0时，sinA＝sinB，∴a＝b，此时△ABC为等腰三角形．综上，△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形．题型