2015年高考文科数学复习：选修4-5不等式选讲(解析版).doc

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1、选修4－5　不等式选讲[考纲要求]　(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：　　　　①

2、ax+b

3、≤

4、a

5、+

6、b

7、.　　　　②

8、a-b

9、≤

10、a-c

11、+

12、c-b

13、.　　　　③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

14、ax+b

15、≤c;

16、ax+b

17、≥c;

18、x-a

19、+

20、x-b

21、≥c.　　　(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明。　　　　①柯西不等式的向量形式：0　　②0　　③0(此不等式通常称为平面三角不等式。)　　　(3)会用参数配方法讨论

22、柯西不等式的一般情形：0　(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。　　　(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。　　　(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式0(x>-1，x≠0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。　　　(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式,柯西不等式求一些特定函数的极值。　　　(8)了解证明不等式的基本方法：比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。[知识点梳理]1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔____

23、____；a＝b⇔________；ab，那么________；如果________，那么a>b.即a>b⇔________.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么________．(3)可加性：如果a>b，那么____________．(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么________；如果a>b，c<0，那么________．(5)乘方：如果a>b>0，那么an________bn(n∈N，n>1)．(6)开方：如果a>b>0，那

24、么________(n∈N，n>1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：

25、a＋b

26、≤________.(2)性质2：

27、a

28、－

29、b

30、≤________.性质3：________≤

31、a－b

32、≤________.4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式

33、x

34、

35、x

36、>a的解集不等式a>0a＝0a<0

37、x

38、

39、x

40、>a(2)

41、ax＋b

42、≤c(c>0)和

43、ax＋b

44、≥c(c>0)型不等式的解法①

45、ax＋b

46、≤c⇔______________；②

47、ax＋b

48、≥c⇔______________.(3)

49、x－

50、a

51、＋

52、x－b

53、≥c和

54、x－a

55、＋

56、x－b

57、≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．5．基本不等式(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么________，当且仅当________时，等号成立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何

58、平均．(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最________值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它们的和S取得最________值．6．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理　如果a，b，c均为正数，那么________，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均____________它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均________

59、__它们的几何平均，即________，当且仅当________________时，等号成立．7．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α

60、，β是两个向量，则

61、α·β

62、≤

63、α

64、

65、β

66、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．8．证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成