数学第一册 教学课件 作者 张黎黎 第一章　集合与逻辑用语.pptx

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1、第一章集合与逻辑用语第一章　集合与逻辑用语集合已经渗透到现代数学的各个领域,成为现代数学的基础,因此集合是进一步学习数学的重要基础知识。本章将介绍有关集合的一些基本概念常用符号、集合的表示法和简单运算。第一节　集合及其表示法一、集合的意义在现实生活和数学中,我们往往把具有某种性质的对象放在一起,作为一个整体来研究。(1)某校一年级的全体学生。(2)所有不大于5的自然数。(3)所有的锐角三角形。上面例子中的“全体”、“所有”都是指具有某种特定性质的对象的总体。我们把具有某种特定性质的对象组成的总体叫做集合,简称集。集合中的各个对象叫做这个集合

2、的元素。例如,上面例子中的(1)是由这个学校一年级全体学生组成的集合,一年级的每一个学生都是这个集合的元素;(2)是由所有不大于5的自然数的全体组成的集合,这个集合的元素就是0、1、2、3、4、5;(3)是由所有的锐角三角形组成的集合,任何一个锐角三角形都是这个集合的元素。对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的。也就是说,任何一个对象或者是这个给定集合的元素,或者不是它的元素,不能模棱两可。例如,对于由所有的锐角三角形组成的集合,内角分别为50°、60°、70°的三角形,是这个集合的元素;而内角分别为30°、60°、90°的三角形,就不是

3、这个集合的元素。对于一个给定的集合,集合中的元素没有顺序关系。下面再举几个集合的例子:(4)方程x2-1=0的所有实数根组成一个集合。因为这个方程只有两个实数根1与-1,所以这个集合有两个元素1与-1。(5)不等式3x+2>0解的全体组成一个集合。因为不等式的解为x>-,所以凡是大于-的实数都是这个集合的元素。显然,这个集合有无限多个元素。(6)函数y=x2图像上所有的点P(x,y)组成一个集合。因为图像上的点的坐标x和y都满足y=x2,所以点P1(0,0),P2(1,1),P3(-1,1),…等都是这个集合的元素。显然,这个集合有无限多个

4、元素。习惯上,我们用大写的拉丁字母A,B,C,…等表示集合,而用小写的拉丁字母a,b,c,…等表示集合的元素。如果a是集合A的元素,就记为“a∈A”,读作“a属于A”;如果a不是集合A的元素,就记为“a∉A”,读作“a不属于A”。含有有限个元素的集合叫做有限集合;含有无限个元素的集合叫做无限集合。只含有一个元素的集合叫做单元素集。例如,方程x+1=0的解集就是单元素集,元素为-1;又如方程x+1=1的解集也是单元素集,元素为0。不含有任何元素的集合叫做空集,记为。例如,方程x2+1=0在实数范围内的解集就是空集,又如,两个外离的圆,它们的公

5、共点的集合是空集。由数组成的集合叫做数集。我们把一些常见的数的集合用特定的大写的拉丁字母表示:如果上述数集中的元素只限于正数,就在集合记号的右上角加上“+”号,如正有理数集记为Q+,同样Q-表示负有理数集,R+表示正实数集等。N表示自然数集。二、集合的表示法集合一般有以下两种表示方法:列举法和描述法。1.列举法把集合中的元素一一列出来,并且写在大括号{}内,每个元素只写一次,不考虑元素的排列顺序,这样的集合表示方法叫做列举法。例如:所有不大于5的自然数的集合,可以表示为{0,1,2,3,4,5}、{3,2,0,4,5,1}或{1,3,5,4

6、,2,0}等,但不能表示为{1,2,1,4,0,5,3}等。当集合的元素很多,不需要或不可能一一列举时,也可只写出几个元素,其他的用省略号表示。例如,小于100的自然数可表示为{0,1,2,3,…,99},正偶数可以表示为{2,4,6,…,2n,…}。由列举法可以看出:集合中的元素不仅是确定的、互异的,且与元素的排列顺序无关。在现实生活、生产中遇到的许多集合是不能用列举法表示出来的,如x+5>0的解集就不能用列举法表示出来。下面介绍集合的另一种表示方法。2.描述法在大括号{}内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖线,在竖线的右边写上个

7、集合的特定性质,或在大括号内写出这个集合的元素所具有的特定性质,这样的集合表示方法叫做描述法。例如:(1)所有自然数组成的集合可以表示为{x

8、x∈N}或{自然数}(2)不等式3x+2>0所有解的集合可以表示为{x

9、3x+2>0}(3)函数y=x2图像上所有的点P(x,y)组成的集合可以表示为{(x,y)

10、y=x2}在实数集内,用描述法表示集合时,可以省略“x∈R”,即{x

11、x>4,x∈R}可以写成{x

12、x>4}。列举法和描述法是集合的两种不同的表示法。实际运用时,究竟用哪种表示法,要看具体问题而定。有些集合两种方法都可以选用,例如,方程x2

13、-1=0的所有实数根组成的集合,用描述法可表示为{x

14、x2-1=0,x∈R},用列举法可表示为{-1,1}。例1    用符号“∈”或者“∉”填空:(1)3N;    (2)2-