数学第一册 教学课件 作者 张黎黎 第八章第三节.pptx

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1、21523-9a主编第一章集合与逻辑用语第三节　复数的概念第四节　复数的四则运算第五节　复数的三角形式2.3(a-2b-c)-2(-a+b+3c)=　　　　。第三节　复数的概念一、虚数单位我们知道,方程x2=-1没有实数根。一般地,对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac<0时,没有实数根。这说明,人们在研究代数方程的过程中,限于实数集合,有些问题就无法解决。因此,需要把实数集进一步扩充,于是人们引入一个新数i,叫做虚数单位,并规定:(1)它的平方等于-1,即i2=-1i;(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的运算律仍然成立。在这种规定

2、下,i就是-1的一个平方根,方程x2=-1的另一个根是-i。此外,虚数单位i的幂运算有下列性质:i0=1　　　　i1=i　　　　i2=-1　　　　i3=i2·i=-ii4=i2·i2=1　　i5=i4·i=i　　i6=i4·i2=-1　　i7=i4·i3=-ii8=i4·i4=1　　i9=i8·i=i…一般地,如果n∈N,那么i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i并规定:i-m=(m∈N)例1　计算:(1)i2006;(2)i-3。解    (1)i2006=i4×501+2=-1;(2)i-3====i。二、复数的定义在引入了虚数单位i及其有关

3、运算规定以后,我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数。其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。例如,2+5i(a=2,b=5),4-i(a=4,b=-)都是复数。三、复数的有关概念1.复数的代数形式复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式。2.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就

4、是实数0。例如,1-3i,-2-i,-2.5i都是虚数,其中-2.5i是纯虚数。例2　复数-2i+3.14的实部和虚部是什么?答:实部是3.14,虚部是-2。3.复数集的结构显然,实数集R是复数集C的真子集,即R⊂C;全体虚数所组成的集合,用字母I表示,虚数集I也是复数集C的真子集,即I⊂C。因此,复数集的结构关系为例3m(m∈R)取什么值时,复数(6m2-m-1)+(m2-5m-6)i是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零?解　根据复数的定义知a=6m2-m-1b=m2-5m-6(1)当b=0,即m2-5m-6=0,m=-1或m=6时,复数(6m2-m-1)+(m2-5

5、m-6)i是实数。(2)当b≠0,即m2-5m-6≠0,m≠-1且m≠6时,复数(6m2-m-1)+(m2-5m-6)i是虚数。(3)当a=0,b≠0时,即6m2-m-1=0,m2-5m-6≠0时,复数(6m2-m-1)+(m2-5m-6)i是纯虚数.得到m=-或m=。4.两个复数相等的定义如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等。这就是说,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di⇔a=c,b=d。特别地,a+bi=0⇔a=0,b=0。一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小,如3+5i与4+3i不能比较大小。例4　已知(x+y)+(

6、2x-3y)i=3-2i(x,y∈R),求x,y。解　根据复数相等的条件得解方程组得x=,y=5.复平面、实轴、虚轴由复数相等的定义可知,对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R),都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定,如z=3+2i可以由有序实数对(3,2)确定;又因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,如有序实数对(3,2)与平面直角坐标系中的横坐标为3、纵坐标为2的点建立了一一对应的关系。由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。图    8-16点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z

7、(a,b)表示,如图8-16所示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。因为原点对应的有序实数对(0,0),所确定的复数是z=0+0i=0,表示实数。故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。例如,在复平面内的原点(0,0)表示实数0,实轴上的点(2,0)表示实数2,虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数-i,虚轴上的点(0,5)表示纯虚数5i。非纯虚数对应的点在四个象限内,例如点(-2,3)表示的复数是-2+3i,z=-5-3i对应的点(-5,-3)在第三象限等。复数集C和复平面内所有的