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《数学第一册 教学课件 作者 张黎黎 第七章 数列及其极限.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章 数列及其极限语第一节 等差数列一、数列在日常生活中,经常遇到按某种顺序排成一列的数,如学生的学号,是按自然数顺序依次排列的,若某班共40人,其学生号可以编排为1,2,3,…,40(1)正的偶数2n(n∈N),当n依次取1,2,3,…时,排出的一列数为2,4,6,8,10,…(2)数轴上的点(如图7-1)由自然数的倒数(n∈N)组成,当n依次取1,2,3,…时,排出的一列数是1,,,,,…(3)图 7-1“一尺之棰,日取其半,万世不竭”我们可将每日所剩下的棰的长度记录为,,,,…(4)无穷多个1排成的一列数:1,1,1,1,…(5)某人按动十次函数形计算器的
2、(2ndF)(RANDOM)键,得到十个随机数:0.098,0.265,0.086,0.968,0.233,0.987,0.862,0.357,0.142,0.988(6)定义 按照一定的顺序排成一列的数a1,a2,a3,…,an,…叫做数列,记为{an}。数列{an}的每一个数叫做数列的一个项。按照它所在的位置分别叫做首项a1,第二项a2,…,第n项an叫做数列的通项。例如,上述数列(2)的第一项是a1=2,第二项a2=4,…,第n项an=2n下面再举一些例子:函数f(n)=3-2n,当自变量n取自然数1,2,3,…时,所对应的函数值为1,-1,-3,-5,-7
3、,…(7)函数f(n)=n2-(n+3)(n-2),当自变量n取自然数1,2,3,…时,所对应的函数值为5,4,3,2,1(8)从上面的两个例子可以看出,以自然数n为自变量的函数f(n),当自变量n取自然数时,所对应的函值f(1),f(2),f(3),…的全体组成一个数列。如果数列的第n项an与项数n之间的对应关系能用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。例如数列(2)的通项公式是an=2n(n=1,2,3,…);数列(3)的通项公式是an=(n∈N);数列(7)的通项公式是3-2n等。但是,并不是所有的数列都能写出它的通项公式的,例如,数列(6)
4、就难以写出通项公式。项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列。上面各例中的数列(1)、(6)是有穷数列,其余都是无穷数列。例1 根据数列的通项公式,写出它的前4项:(1)an=; (2)an=(-1)n-1n2。解 (1)将n=1,2,3,4依次代入an=中,得到数列的前4项为0,,,(2)将n=1,2,3,4依次代入an=(-1)n-1n2中,得到数列的前4项为1,-4,9,-16。(1)1,3,5,7,…;(2)1,-,,-,,…;(3),,,,,…。例2 观察下列数列的变化规律,写出它们的通项公式:解 (1)是奇数数
5、列,它的通项公式是an=2n-1;(2)数列的每一项的绝对值的分子都是1,分母都是项数的2倍减1,而奇数项数值为正,偶数项数值为负,所以它们的通项公式为an=(-1)n+1(3)数列的每一项的分母都是项数加1,而分子3,8,15,24,35,…可写为22-1,32-1,42-1,52-1,62-1,…即都是分母的平方减1,所以它的通项公式为an==二、等差数列的定义我们先来看两个数列:1,3,5,7,9,…(1)9,4,-1,-6,-11,…(2)在这两个数列中,从第2项起,每一项减去它的前一项,所得的差都等于同一个常数。在数列(1)中,这个常数是3-1=5-3=
6、7-5=9-7=…=2。在数列(2)中,这个常数是4-9=-1-4=-6-(-1)=-11-(-6)=…=-5。对于具有这样规律的数列,给出下面的定义:定义 如果数列a1,a2,a3,…,an,…,d=a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…那么这个数列就叫做等差数列,常数d叫做公差。d=0时,数列是常数列。从第2项起,每一项减去它的前一项,所得的差都等于某一个常数d,即例3 在等差数列{an}中,已知a1=5,a2=2,求公差d及a3。解 由等差数列的定义可知:d=a2-a1=2-5=-3因为a3-a2=d,所以a3=a2+d=2+(-3)=-1三、等差数
7、列的通项公式由等差数列的定义可知一般地有an=a1+(n-1)d(7-1)式(7-1)叫做等差数列的通项公式。这个公式描述了a1,an,n,d四个量之间的关系,如果知道其中任何三个量,都可以求出另外一个量。例4 求等差数列-5,-7,-9,-11,…的第15项。解a1=-5,d=a2-a1=-7-(-5)=-2,n=15代入式(7-1),得a15=-5+(15-1)×(-2)=-33例5 已知等差数列中a1=7,d=3,an=304,求数列的项数n。解 由等差数列的通项公式可得304=7+(n-1)×3解这个方程,得n=100。例6 已知等差数列中a4=10,a7
8、=19,求
