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1、综述圆方程的寻求方法河北史彩玉一、“标准方程”法利用圆的圆心和半径这些几何特征，采用标准方程为:(x-a)2+(y-方尸=r2,进行求解圆方程的方法。例1(2001年全国高考题)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A、(x_3)?+(y+l)2=4B、(x+3)2+(y-l)2=4C、(兀-l)?+(y-1)?=4D、(x+l)2+(y+l)2=4【解】由于圆心在直线x+y-2二()上，故可设圆心坐标为：(a,2-a),半径为：r,圆方程为：(兀7)2+(),_2+。尸=宀根据
2、圆过点a(1,-I),B(-I,1)得：+-Q+1)：,解得曰，宀JF=(a+l)2+(2_a_l)2故所求圆的方程为：(乳-1)2+().，-1)2=4,选C。例2求经过点、A(-2,4),且与直线1:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程。【解】设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r由ICAI=ICBI,CB丄1,得a=—,231125冋亠牛*(ILoz3o125b=—二，r=°圆万柱为：+()‘+=)「2V2222例3已知圆满足：①截y轴所得得弦长为2,②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1,在
3、满足①②的所有圆中,求圆心到直线I:x-2y=0的距离最小的圆的方程。【解】法1:设圆的方程为：(x-a)，+(y-防=广2,圆心P(a,b)到X、y轴的距离分别是IbILlaL由题£殳知圆P截x轴所得的劣弧所对圆心角为90°,故圆P截x轴所得的弦长为血厂，所以r2=2b2,圆P截y轴所得的弦长为2,所以r2=^2+l,从而，2b2-l=a2;又因为P(a,b)到直线1:-2y=0的距离为〃=la—2bl所以5十=
4、Q一2bF=/+4b2-4ab>a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时等号成立
5、,此时仏乎这时有｛覽2=严｛；：；或｛：二：，由宀2庆得：r2=2,故所求圆的方程为：(兀―l)?+(y—1尸=2或(兀+l)2+(y+l)2=2。【点评】利用圆的几何性质找出a、b、r的关系是关键，求距离的最小值要选择适当的方法二、方程力法利用圆的一般方程，将所求圆设成一般形式方程：x2+/+Da+£V+F=O,根据题中的已知条件进行求解圆方程的方法。例4(同例2题目)【解】设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=O,则CB丄1,A(-2,4),82+62+8D+6E+F=0B(8,6)在圆上，所以的方程组:(一
6、2尸+(-4)2+(-2)D+(-4)£+F=02D+4E-F=20整理得：6D+6E-F=-100,解得D=-ll;E=3;F=-30。3£>-E=-36故所求圆的方程为：十+于―llx+3y—30=0。【点、评】分析方程中各个字母的含义，是应用好防城的关键。三、“圆系”法利用过两圆交点的圆方程，采用巧设方程，不求坐标的方法，简化运算。过两圆交点的圆系方程为：+b+++++F+++例5已知两圆的方程G：++),2=4；q.x2+y2-2x-4y+4=0o直线1:x+2y=0,求经过圆G、C?的交点且和直线1相切的圆的方
7、程。【解】设所求圆的方程为：x2+y2-2x-4y+2(x2+y2-4)=0(k工-1),整理得：宀八吕"卷厂罟",圆心为(占备)，圆心到直线11+2•-
8、I的距离d等于半径得：n•底韦二看得：k=l,故所求圆的方程为：x2+v2-x-2y=0o例6求过直线2x+y+4=0和圆%2+)，+2x-4}j+l=0的交点，且面积最小的圆的方程。【解】设过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+l=()交点的圆方程为：2-45x2+y2+2x-4y+l+2(2x+y+4)=0,则(x+2+1尸+(y+)2=-22-42+
9、4。24要使圆的面积最小，必须半径r最小，厂=J扌才一42+4=g(5(/1—
10、尸+等宀丄少二还,当且仅当A=-时r最小。2V555所求圆的方程为：(尤+空)，+(y—°)，=土。5•55四、“对称”法才艮据两圆成中心对称或成轴对称的特征求圆的方程。例7已知圆C:扌+)二+4兀一12)，+39=0和直线1:3x-4y+5=0,求圆C关于直线1对称的圆的方程。【解】因为圆C的圆心为(-2,6),半径为1,易求得点(-2,6)关于直线1:3x-4y+5=0,的对称点为：(4,-2),而对称圆的半径相同，故所求圆的方程为：(—
11、4)2+0+2尸=1。%1.“直径”法若A(X],yJ,B(x2,y2),直径为AB的圆方程是(兀一兀J(兀一兀2)+0一开)(歹一旳)=0,通常利用此方程进行求解时通常称为“直径”法。例8(同例6)求过直线2x+y+4=()和圆x2+/+2x-4y+l=0的交点，且面积最小的圆的方程。【解】因为通过两个定点的动圆中
