求圆的切线方程的几种方法.doc

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1、求圆的切线方程的几种方法在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考.1.利用几何性质来求切线方程当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程.例1已知圆C的方程是x2＋(y－1)2＝4,圆外一点P(3,2),求经过点P且与圆C相切的直线方程.解:当过P的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线.设所求的直线的斜率为k,直线方程为y－2＝k(x－3),化为一般形式为kx

2、－y－3k＋2＝0.由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d等于半径2,即d＝＝＝2,解得k＝.所以切线方程为y－2＝(x－3).点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解.2.利用方程的判别式来求切线方程当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程.例2已知圆C的方程是x2＋(y－1)2＝4,圆外一点P(2,2),求经过点P且与圆C相切的直线方程.解:当过P的直线的斜率不存在时,直线x＝2是圆的切线.当过P的直线的斜率存

3、在时，设所求的直线方程为y－2＝k(x－2).直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k2)x2＋2k(1－2k)x＋4k2－4k－3＝0,因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k2(1－2k)2－4(1＋k2)(4k2－4k－3)＝0.解得k＝－.所以所求的切线方程是x＝2或y－2＝－(x－2).点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x＝2.3.利用垂直关系求切线方程当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程.例3已知圆C的方程是x2＋(y－1)2＝4,求以P(,2)为切点的切线方程.解:由已知

4、得圆心O(0,1),点P在圆C上,显然x＝不是圆的切线.设切线方程为l:y－2＝k(x－).由直线OP⊥l得k·kOP＝－1,所以k＝－＝－.所以切线方程为y－2＝－(x－)即y＝－x＋5.点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算.小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.1