求圆的切线方程的几种方法.docx

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1、.求圆的切线方程的几种方法四川省冕宁中学谢玉在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。例：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。解法一：利用斜率求解如图1，设切线的斜率为k，则kkOM1.kOMy0,kx0x0y0经过点M的切线方程是：yy0x0(xx0)y0整理得x0xy0yx02y02.因为点M在圆上，所以x02y02r2.图1所求的直线方程为：x0xy0yr2.当点M在坐标轴上时上面方程同样适用。解法二：

2、利用向量求解如图2，设切线上的任意一点p的坐标x,y∵，（x0,y0),PM(x0x,y0y)OMPMOMOM?PM0x0（x0x）y0(y0y)0整理得：x0xy0yx02y02.因为点M在圆上，所以x02y02r2.所求的直线方程为：x0xy0yr2.（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）解法三：利用几何特征求解如图2，设直线上不同于M(x0,y0)的一点P(x,y)∵OMPM2PM22OMOP222(yy0)2x2y2x0y0(xx0)整理得：x0xy0yx02y02.因为点M在圆上，所以x02y02r2.所求的直线方程为：x0xy0yr2.当

3、P和M重合时上面方程同样适用。解法四：用待定系数法求解.'图2.1、利用点到直线的距离求解设所求直线方程的斜率为k,则直线方程为：yy0k(xx0),即：kxyy0kx00⑴原点到切线的距离等于半径O(0,0)y0kx0r1k2化简整理得：2222x0y0kr220⑵(rx0)ky0因为x02y02r2所以⑵式可化为：y02k22x0y0kx020解得：kx0代入⑴式y0整理得x0xy0yx02y02.因为点M在圆上，所以x02y02r2.所求的直线方程为：x0xy0yr2.当斜率不存在时上面方程同样适用。2、利用直线与圆的位置关系求解：设所求直线方程的斜率为

4、k,则直线方程为：yy0k(xx0),即：kxyy0kx00（1）kxyy0kx00消去y得由y2r2x2(1k2)x22k(y0kx0)xy02k2x022ky0x0r204k2(y0kx0)24(1k2)(y02k2x022ky0x0r2)0整理得：2x02)k22x0y0kr220⑵(ry0因为x022r2y0所以⑵式可化为：y02k22x0y0kx020解得：kx0代入⑴式y0整理得x0xy0yx02y02.因为点M在圆上，所以x02y02r2.所求的直线方程为：x0xy0yr2.当斜率不存在时上面方程同样适用。这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，

5、若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。.'