立足通性通法兼顾巧解巧法——对一道公开课例题的解法分析与拓展

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1、万方数据2014年6月新颖试题立足通性通法，兼顾巧解巧法——对一道公开课例题的解法分析与拓展⑧江苏省南通市天星湖中学陈建清最近笔者有幸聆听了我校一位资深教师的数学公开课，主讲内容是高三第二轮复习解析几何专题．授课教师力求对解析几何问题求解的常见方法与思想进行梳理，让学生体会到“直线与圆锥曲线位置关系”有关综合问题常用的数学思想与方法、解题的基本规律与技巧等，从而提高综合分析问题和解决问题的能力．其中一道解析几何题引起了笔者的极大兴趣，课后在评课时才知道，这道解析几何题选自安徽省合肥市2013届高

2、三第三次教学质量检测理科数学第20题．一、题目再现，解法分析题目平面内定点F(1，0)，定直线z：x=4，P为平面内的一个动点，作PQ上z，垂足为Q，且lP(21=21PFl．(1)求动点P的轨迹方程；(2)过点F与坐标轴不垂直的直线，交动点P的轨迹于4，B两点，线段4B的垂直平分线交戈轴于点R，试判断婴是否为定值．14百1分析：第(1)问属于常规题；第(2)问考查了解析几何的通性通法，并考查了函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想．本题是圆锥曲线的一个性质，带有数

3、学探究的意味，在分析问题时要充分挖掘试题的本质，揭示数学问题的精髓，有意识地让学生从特殊到一般去发现结论、推广命题，既可以使学生享受学习成功的喜悦，也循序渐进地撩开了数学试题的真实面纱，逐渐使学生达到融会贯通的学习境界．解：(1)设P(x，Y)，因为lPOI--21PFI，所以IP(212=41PFl2夔蓁j04一戈)2=4L01-x)2啊2J．整理得笙+竺：1．43(2)证法1：由条件，直线AB的斜率必存在(且不为0)，可设4B：y=矗(戈一1)(矗≠0)．fy=矗(戈一1)，联立方程组{戈z

4、俨．消去Y，得(3+4k2)戈2—8k2x+——+2=1．1434k2—12=0．谢㈠m凇∽m抛·惦蕊8k2一等．设4B的中点为。(‰yo)，知搿。=兰笋=篇，，勺每(搿。一1)：_二生．所以线段AB的垂直平分线的方程为Y一丽-3k=1／4k2＼一—k—【戈一3+4k2J。铷嘴缮羔威十羔卜哿．而l商l=、／T雨l戈。叫：l=、／T雨、／—(X1+X2)—2--4XIX2=12(1+五2)■丽。所以婴：土为定值14Bl斗A评注：从证明过程看，利用的是弦长公式求解直线与圆锥曲线相交所得的弦长，这是最

5、普通、最常见的一种代数方法，但计算量非常大．而此题由于弦4B过椭圆的焦点，那我们的求解是否可以简化呢?利用椭圆第二高中版寸’孑擞·789万方数据教学参谋尊型望翌塑里定义可得过焦点弦长公式：I商I=le(研}菇：)一孙I(其中e为离心率，n为长半轴长)，可以优化上述证法．证法2：设直线AB的方程为y=矗(戈一1)(矗≠0)．联立方程组设A(‰y，)，B(％y2)，AB的中点为D(戈。，yo)，则戈·+筝—磊gk2删赢如。训勘l=掣岩m剐矿1)一3+4盎23+舭。=“竽一·1_丽-3k．又线段4B的

6、垂直平分线的方程为y—Y。=一÷(X--XO)，尤令y：。，得xR=kyo+Xo,所以l赢I=lxR-11=lkyo慨。一·I-l盎yo+警l：丛!盟．3+4k2所以婴：÷为定值14Bl斗评注：证法2计算量小了许多，除了选用焦点弦长公式外．另一个小技巧在于垂直平分线的设法，以及求l赢l时增加了新的中间参数靴，Y。．而没有直接像证法1那样，始终以斜率矗为参数．证法3：点差法——以斜率五为参数．设直线AB的方程为y=k(戈-1)(矗#-0)，A(21，y1)，B(X2,Y2)，4B的中点为。(‰yo

7、)'则等2+夸=1，等+警=1，两式相减，得丢(戈。+彩(戈·一彩+÷(y·+弛)(y·一yz)=0．因为戈·+戈z=戮彬·+弛=觋，所以詈2一≥矗删廊枞帅：)-2al=12exo-2al=掣岩所以婴：÷为定值．14Bl斗评注：“点差法’’适合于“中点弦”问题，难点在于求弦长1481．若选用一般弦长公式l商I='X／I+UIxl一戈2l必须用韦达定理法．此处选择过焦点弦长公式l商l=12eXo-2al(其中e为离心率，戈。为AB中点的横坐标，血为长半轴长)可以使点差法顺利进行，但以矗为参数，计算

8、量依然很大．证法4：点差法——以中点坐标为参数．由证法3中的①式知矗船=一蒙·又线段AB的垂直平分线的方程为y—Y。=一÷(戈一铷)，令y=o，得戈。=五。跏慨。一Z4XO+XO--Z4铷，所以l赢l=‰一忙卜o--”矿41．．．V．IA-南I：12哳一2拈l戈。卅，所以j婴：』为定值A14Bl_r评注：此证法比证法3的计算量明显小很多，技巧在于选择点坐标为参数，解析几何问题选择参数不同，计算量也不一样．上述方法都要求出线段AB的垂直平分线的方程．其实求垂直平分线的方程，无非就是为了求出R点的坐