立足通性通法,兼顾巧解巧法——对一道公开课例题的解法分析与拓展

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1、学2014年6月新颖试题谋立足通性通法，兼顾巧解巧法——对一道公开课例题的解法分析与拓展⑧江苏省南通市天星湖中学陈建清最近笔者有幸聆听了我校一位资深教师的数学公(4一J4l(1J+J．开课，主讲内容是高三第二轮复习解析几何专题．授课整理得+：1．43教师力求对解析几何问题求解的常见方法与思想进行(2)证法1：由条件，直线AB的斜率必存在(且不为梳理，让学生体会到“直线与圆锥曲线位置关系”有关综0)，可J．~4B：y=k(x一1)(≠0)．合问题常用的数学思想与方法、解题的基本规律与技巧等，从而提高综合分析问题和解决问题的能力．其中一『y=(一1)，联立方程组{消去Y，得(

2、3+4kx。一8k2x+道解析几何题引起了笔者的极大兴趣，课后在评课时才一。r——一1，l4j知道，这道解析几何题选自安徽省合肥市2013届高三第4k2-12=0．三次教学质量检测理科数学第20题．=丽8k2．一题目再现。解法分析、iS．tA的中点为(y0)，知0==，yo=k(n--题目平面内定点F(1，0)，定直线f：=4，P为平面—}———内的一个动点，作PQ上f，垂足为Q，且IPQ1=21PN．1)：二．(1)求动点尸的轨迹方程；所以线段A的垂直平分线的方程为y一-3k=(2)过点坐标轴不垂直的直线，交动点P的轨迹于A，鄙点，线段AB的垂直平分线交礴由于点尺，试判

3、断1／4k。＼一一J‘k是否为定值．百1厕I-．分析：第(1)问属于常规题；第(2)问考查了解析几而ll=、／T．一I=、／丽N／(x,+x2)2-4x,x2。=何的通性通法，并考查了函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想．本题是±3+4。‘圆锥曲线的一个性质，带有数学探究的意味，在分析问题时要充分挖掘试题的本质，揭示数学问题的精髓，有意所以tA-~t=4为定值·识地让学生从特殊到一般去发现结论、推广命题，既可评注：从证明过程看，利用的是弦长公式求解直线以使学生享受学习成功的罾}兑，也循序渐进地撩开了数学与圆锥曲线相交所得的弦长，这是最普通、

4、最常见的一试题的真实面纱，逐渐使学生达到融会贯通的学习境界．种代数方法，但计算量非常大．而此题由于弦A日过椭圆———}—_+———}—_+解：(1)设P(x，Y)，因为lPQ1=21PFI，所以lPQl=41PFI的焦点，那我们的求解是否可以简化呢?利用椭圆第二高中版十。7擞·7⋯题2014年6月定义可得过焦点弦长公式：IIe(。+)一2口I(其中e为所以I=Ie(：-I2e离心率，Ⅱ为长半轴长)，可以优化上述证法．所以一t~---gl证法2：设直线AB的方程为y=k(x一1)(≠O)．：为定值．1l4评注：“点差-；L-”适合于“中点弦”问题，难点在于求联立方程组弦KI

5、ABI．若选用一般弦长公式lI_Ix12I,．Z-须生43用韦达定理法．此处选择过焦点弦长公式Il=12ex。一2al1ll设A(，，Y。)，B(x2，Y：)，AB的中点为D(o，Yo)，则十(其中e为离心率，XO为A中点的横坐标，口为长半轴长)8k2整z：，所以理痢II=_1)可以使点差法顺利进行，但以为参数，计算量依然很大．得证法4：点差法——以中点坐标为参数．+=芋一4-3k．由证法3中的①式知庐一·一又线段AB的垂直平分线的方程为y0：一÷(X-X0)，又线段曰的垂直平分线的方程为y一：一1_(—+令y=。，得xR=ky一o帆。，所以-F-~I=IXR-11=lk

6、xo-ll=l警1。)，令：0，得=拟。=一丢。帆。=去所以l赢I：一：．3+4k“=t所以4为^值．又痢1=12exo-2al=lxo-41,所以为定值4评注：证法2计算量小了许多．除了选用焦点弦长公评注：此证法比证法3的计算量明显小很多，技巧在式外，另一个小技巧在于垂直平分线的设法，以及求l赢l于选择点坐标为参数，解析几何问题选择参数不同，计时增加了新的中间参数‰，yo，而没有直接像证法1那样，算量也不一样．上述方法都要求出线段AB的垂直平分线始终以斜率为参数．的方程，其实求垂直平分线的方程，无非就是为了求出R证法3：点差法——以斜率为参数．点的坐标．那么能否利用垂直

7、平分线的几何性质直接求设直线4B的方程为_y：(一1)(k≠0)，A(，Y)，出R点的坐标?B(X2,U2)，AB的中点为。()，则萼+譬：1，手+季=1，证法5：定义法——利用垂直平分线的性质．两式、相减，得÷4(+：)(Xl-~2)+3(y’。+)。，)(yl-Y2)：0．谢(y)，曰()，冗(，0)，则y3(1一等)，因为1+2=。，y1+y~=2yo，N~IxoY=一ok·①31-薯)，ll-)一2口l_丢+-81．43N7．kjD(x。，yo)~ABJ2，所以=(1)．②由ll=麻l而=丽2(22+22(2．X一2，