数学：131《二项式定理》课件.ppt

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1、1.3二项式定理1.3.1二项式定理问题提出1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等于什么？(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为(a＋b)n（n∈N*）.由于在许多代数问题中需要将它展开，因此，研究(a＋b)n展开后的表达式的一般结构，就是一个具有重要意义的课题.二项式定理探究（一）：二项式定理思考1：将(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)按多项式乘法法则展开，每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项，根据分步计数原

2、理，在合并同类项之前共有多少项？其中不取b，取一个b和一个a，取二个b的项数用组合数分别怎样表示？由此可得(a＋b)2的展开式是什么？思考2：类似地，将(a＋b)3＝(a＋b)·(a＋b)(a＋b)按多项式乘法法则展开，在合并同类项之前共有多少项？其中不取b，取一个b和二个a，取二个b和一个a，取三个b的项数用组合数分别怎样表示？由此可得(a＋b)3的展开式是什么？思考3：在(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式中，有哪几种形式的项？合并同类项之后各项的系数分别是什么组合数？由此可得(a＋b)4的展开式是什么？思考4：根据归纳推理，你能猜测出(a＋

3、b)n(n∈N*)的展开式是什么吗？思考5：如何证明这个猜想？思考6：公式叫做二项式定理，等式右边叫做二项展开式，其中各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数，那么二项展开式在结构上有哪些基本特征？共有n＋1项；字母a的最高次数为n且按降幂排列；字母b的最高次数为n且按升幂排列；各项中a与b的指数幂之和都是n；各项的二项式系数依次为，且与a，b无关.思考7：根据二项式定理，(1＋x)n(n∈N*)等于什么？思考8：(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？探究（二）：二项展开式的通项思考1：在二项展开式中，用Tk表示从左到右第k项，那么Tk和Tk＋1分别等于什么？

4、思考2：在(a＋b)n的二项展开式中，叫做二项展开式的通项，那么(a－b)n的二项展开式的通项是什么？思考3：(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什么？思考4：(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么？二项式系数：，系数：.理论迁移例1求的展开式.例2求的展开式中x3的系数.－84例3已知的展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为14︰3，求展开式中所有的有理项.小结作业1.二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中n是正整数，a，b可以任意取值，也可以是代数式.2.(a＋b)n的展开式统一规定按a的降幂排列，各项的系数与a，b的取值有关，各项的二

5、项式系数与a，b的取值无关.3.二项展开式的通项是研究二项展开式问题的重要工具，但需注意通项是表示二项展开式中的第k＋1项.对于求展开式中某些特定的项，一般要分析通项中字母的幂指数来解决.作业：P37习题1.3A组：2，3，4，5.1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质问题提出1.二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？共有n＋1项；字母a的最高次数为n且按降幂排列；字母b的最高次数为n且按升幂排列；各项中a与b的指数幂之和都是n；各项的二项式系数依次为且与a，b无关.2.二项展开式的通项是什么？3.组合数有哪两个基本性质？4.二项式系数是二项展开式

6、中的基本数据，它有许多变化规律，探究、了解二项式系数的基本性质，对提升思维素养，进一步理解二项式定理和运用二项式定理解决某些实际问题，都有重要的作用.杨辉三角与二项式系数的性质探究（一）：杨辉三角思考1：(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5，(a＋b)6的展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表：654321二项式系数n11111111111123346451010561515206思考2：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？654321二项式系数n111111111111233464510105615152

7、06具有对称性思考3：将上表写成如下形式，你又能发现这些数据有什么新的规律吗？(a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…1615201561（1）每行两端的数都是1；（2）与两端等距离的项的系数相等；（3）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，等等.思考4：上述数表是我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中最先提出的，是我国古代数学的一个重要成果，比欧洲早五百年左右，我们