自然数来源于实践人们首先认识自然数.doc

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1、1.4　自然数自然数来源于实践．人们首先认识自然数，然后是分数，整数，有理数，实数，复数，但怎样把这些数的性质抽象出来，再像几何学那样将其公理化，却是一个复杂的任务．做这样工作的当然有很多数学家，其中一位得到公认的意大利数学家皮阿罗，他把自然数一个接着一个，不间断的性质抽象出来，形成以下公理．定义1.16任何一个非空集合Ｎ的元素叫做自然数．如果在这个集合中，对于某些元素，存在关系后面，或者后面的数<后面的数用表示），满足下面公理：b5E2RGbCAPＡ．存在一个数１，它不在任何数的后面，即对任何数．Ｂ．对于任意数，存在且仅存

2、在一个它后面的数，即若Ｃ．若Ｄ．<归纳公理）具有下面性质的自然数的任何集合M若满足<1）；<2）如果属于M，则它后面的数也属于M．则集合Ｍ含有一切自然数，即Ｍ＝Ｎ．也许有人说自然数的上述定义不那么好，因为按照定义，任何满足上述定义的都是自然数集合，因而自然数集合就不只一个．p1EanqFDPw例如上述集合也满足自然数定义，但所有满足定义的集合彼此是同构的，因而可以等同看待．定义1.17　如果数b在的后面，我们称的前元，的后继元．根据自然数定义中的公理(1>，数１没有前元．下面我们证明自然数中只有１没有前元，其他元素均有前元．

3、定理1.10　任何一个不等于１的数均有前元，而且仅有一个．证明　设集合Ｍ是含有１和至少有一个前元的所有数的集合，则(1>；(2>如果，则<因为有前元）．由公理Ｄ，Ｍ=N,即所有自然数<除１外）均有前元，再由公理Ｃ，前元是惟一的．DXDiTa9E3d定理1.11　若，则，若，则．证明　由公理Ｂ和Ｃ即得结论．定理1.12　对于任何自然数，均有．证明　设Ｍ是所有具有性质的元素的集合．由公理Ａ，１没有前元，所以若，则．则<由定理1.11得出）．5/5所以．再由公理(4>，Ｍ＝Ｎ，即所有自然数均有．前面我们给出了自然数的定义及其若干性

4、质，下面我们给出自然数的加法与乘法定义，并给出相应这些运算的性质，当然自然数也有减法与除法，但这里不再给出．RTCrpUDGiT定义1.18　自然数的加法是指这样的对应：由于它，对于每一对自然数与b，有且仅有一个自然数与之对应，而且具有以下性质：5PCzVD7HxA(1>对于任意自然数有(2>对于任意自然数与b有由上述定义中(１>和(２>两个条件不难看出，实际已把所有自然数的加法结果给出，因为１＋１＝１＇１＋２＝(１＋１>＇＝３，…由此得出所有１＋k，至于其他自然数的相加也不难归纳得出．但是上述自然数加法定义是否合理，也就是

5、说，这一个运算是否Ｎ×Ｎ→Ｎ的映射，这就需要证明．下面我们证明上述的加法对应关系是Ｎ×Ｎ→Ｎ的映射．jLBHrnAILg加法定义合理性证明．证明　对任意与b，令是这样的对应对于固定的，令设Ｍ是这样数b的集合，它使是惟一确定元素．因为，对于固定的是惟一的，所以．若，则是惟一的，即是惟一的，所以也是惟一的，所以，所以Ｍ＝Ｎ．由是任意的，所以是Ｎ×Ｎ→Ｎ的映射，即上述定义是一个代数运算．现在我们给出自然数加法的一些简单运算性质，这些性质都是根据加法定义给出的．］定理1.13　加法的结合律证明　设选定了两个数与b，Ｍ是所有这样数c的

6、集合，对于它们结合律成立，即．5/5(1>所以．(2>若，则所以所以，所以Ｍ＝Ｎ，即所有自然数满足结合律．定理1.14　加法的交换律证明　首先证明对使用归纳公理，设Ｍ是使成立的的集合，则(1>．(2>若，则所以．由归纳公理ＤＭ＝Ｎ其次我们再对b使用归纳公理(4>，对固定的，设Ｍ是等式成立的元素b的集合．(1>．(2>若，则所以，由归纳公理ＤＭ＝Ｎ下面再给出两个自然数有关性质，同时给出自然数的有序性质．定理1.15　对于任意数与b证明　定理对b=1成立，因为．设Ｍ是使的元素b的集合，则(1>，若，所以，即Ｍ＝Ｎ．定理1.16　

7、对于任何两个自然数与b，下面三种情况中有一种且仅有一种成立．(1>(2>(3>5/5证明　定理中(1>和(2>不能同时成立，(1>和(3>也不能同时成立<由定理1.15得出）．假如(2>与(3>同时成立，则，这又与定理1.15矛盾，所以上述三种情形不能同时成立两个．下面我们证明上述三种情况成立一种且仅成立一种．对于固定的，设M是这样数b的集合，它使上述三种情况只成立一种．当时，，情况(1>成立．当，而b=1时：由定理1.10，，情况(2>成立，所以．现在我们设，当情况(1>成立时，，所以，即情况(3>对成立．若和k=1，则，

8、情况(1>对成立．若，则情况(2>对成立．当情况(3>成立时，情况(3>对成立．所以无论怎样(1>，(2>，(3>对与只成立一种，所以，Ｍ＝Ｎ．由定理1.16显然可以规定出自然数的大小顺序.定义19　如果给定的两个自然数与b存在一个数k，使得则称大于b，b小于，记为，或由定理1.16显然可