运用凸函数性质证明不等式.doc

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1、运用凸函数性质证明不等式<何仲永浙江诸暨轻工技校311800）摘要：本文仅从函数图像的凹凸性角度证明一些常见的不等式，在明确函数凹凸性性质的基础上，用具体例子加以例析。关键词：函数；凹凸性；不等式；证明。不少不等式的证明，看起来很难，但运用凸函数性质证明，可以少走弯路，使解题更合理些。凸函数性质：1.如果y=f(x>在[a,b]上是上凸函数，设，那么2.如果y=f(x>在[a,b]上是下凸函数，设，那么当且仅当f(x>为常数函数时，等号成立图二图一结论：上凸函数函数值的平均不大于平均的函数值；下凸函数函数值的平均不小于平均的的函数值。特别是简单的初等函数，

2、它的上凸与下凸可以直观从图像中看出，当然也可以从二阶导数来判别：为上凸的函数；为下凸的函数。b5E2RGbCAP将上面的性质加以推广1.如果y=f(x>在[a,b]上是上凸的函数，设xi在在[a,b]上是下凸函数，设xi在为常数函数时，等号成立。<证明从略）凸函数的性质在理论上很重要，它有时是证明不等式的有力工具，仅举几例加以说明。例1：在ABC中，求证：证明一：sinA+sinB+sinC令C为定角:C为定角，为定值，要使为最大值，只有当A=B时才成立，由于A.B.C对称，有最大值

3、，当且仅当A=B=C=60°时才能达到下面直接应用凸函数性质证明证法二：如图三,y=sinx为上凸函数，因此有上凸函数值平均不大于平均的函数值的结论0yx图三y=sinx三/3证毕如果题目改成,A,B,C,D(0.>求sinA+sinB+sinC+sinD的极大值。用一般三角函数变换，几乎不能很快达到目的，使用上凸函数性质，解法简捷。为上凸函数，故有当A=B=C=D时sinA+sinB+sinC+sinD最大值为同样更一般的题目：已知，则证明：y=sinx,为上凸函数，故=nsin例2.已知ai>0(I=1,2…n>，求证证明：这道题证法有很多，这里仅应用

4、凸函数性质来证明。如图四：当x>0,y=lnx为上凸函数，就有0yxy=lnx图四<1，0）例3.已知求证：证明：当,考察函数y=lncosx图像是上凸还是下凸？可以和求导或描图,求导：y=lncosxy或作图x0图五三/3两种方法均可得出函数为上凸函数，因此有函数值的平均不大于平均的函数值，所以在ABC中，coscoscos的极大值问题可套用上述结论：=当，即为正三角形时，乘积有极大值为类似这样问题：已知AIA1+A2+A3+A4+A5=,求cosA1cosA2cosA3cosA4cosA5的最大值。p1EanqFDPw可套用上述结果，用凸函数理论顺利解

5、决=，应用凸函数解决不等式的证明，特别是引进了辅助函数时，要注意考察它的上凸与下凸的特征，并要注意函数的定义域，否则容易在解题时出差错。DXDiTa9E3d申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。三/3