凸函数的性质及其在不等式证明中的应用.doc

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1、.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用学生：娟指导教师：喜善摘要：凸函数是一种性质特殊的函数，它的诸多性质在许多数学分支中，例如：数学分析、最优化理论、泛函分析等分支中都可以看到其相关的应用。本文将从凸函数的定义性质出发，讨论其在几个比较重要的不等式证明方面的应用，其方法主要是先构造能出一个能够解决问题的凸函数然后从凸函数的性质入手整理化简不等式从而达到解决问题的目的。关键词：凸函数定义性质不等式证明引言：凸函数是一类重要的函数，它的应用领域非常广泛，在很多数学问题的分析与证明中我们都需要用到凸函数，特

2、别是在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。凸函数的性质可以解决很多不等式的证明，在证明问题中利用凸函数的性质定理可以使得证明过程更加简洁、巧妙，而证明的关键步骤就是构造出一个能解决问题的凸函数，再运用凸函数的定义及重要性质，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明。本文将从凸函数的定义与性质出发，在了解了凸函数的各个性质之后再研究某些性质在几个比较重要的不等式证明当中是怎样应用的，通过应用凸函数的性质来证

3、明本文例举的不等式我们将看到运用这种方法的简洁与巧妙之处。1.凸函数的概念人们常用函数的凸凹性来反映曲线的弯曲方向，这是几何直观上给出的关于函数凸凹性的概念即：曲线上任意两点间的弧段总是在这两点连线的下方，则称具有此种特性的曲线称为凸的，而若曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，则称具有此种特性的函数是凹的。几何上的另一种直观解释是：曲线上任一点的切线总在曲线的下方。1.1凸函数定义设在区间上有定义，若对上的任意两点，和任意实数,总有成立，则称为区间上的凸函数；若不等式反向，即Word文档.则称为

4、区间上的凹函数。（如果两个不等式改为严格不等式，则相应函数称为严格凸、凹函数）。1.2定理设为区间上的可导函数，则下列论断相互等价（1）为上的凸函数（2）为上的增函数1.3定理设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸（凹）函数的充要条件是（），.证明：若在区间上可导，则在上递增（减）的充要条件是，再有定理1.2即得证。此定理用于判定一个函数是否是凸函数，这点在证明当中是经常用到的，它用来判定我们构造出来的函数是否是我们想要的。2.凸函数的性质2.1凸函数的运算性质性质1若为区间上的凸函数，则为区间上的凹函数

5、，反之亦然证明：因为凸函数，由定义知，若对区间上任意两点，和任意实数,总有在上式两边同时乘以得：故为区间上的凹函数。同理可得为区间上的凹函数，则为区间上的凸函数。性质2若为区间上的凸函数，对任意，当时，为区间上的凸函数；当时，为区间上的凹函数。证明：因为区间上的凸函数，由定义若对区间上任意两点，和任意实数,Word文档.总有1)当时，在上式两边同时乘以得：即为凸函数。2）当时，在上式两边同时乘以得：即为凹函数。性质3若，为区间上的凸函数，则线性组合（）为上的凸函数，（）为上的凹函数。证明：因为，是凸函数

6、，由定义的，若对上任意两点和任意实数总有当时+=即为凸函数当时+=即为凹函数Word文档.性质4若为区间上的凸函数，则为上的凸函数。证明：因为为凸函数，则对上的任意两点和任意实数总有从而=所以为凸函数。性质5若都是上的非负单调递增的凸函数，则也是上的凸函数。证明：因为是上的非负单调递增的函数，则对上的任意两点有即又因为为凸函数，则对上述的和任意实数总有所以==即Word文档.从而为凸函数。性质6若为上的单调递增的凸函数，是上的凸函数，则复合函数是凸函数。证明：因为为凸函数，即对任意，和任意实数总有而为单

7、调递增的凸函数，则从而是凸函数。3.凸函数在不等式证明中的应用3.1凸函数在初等不等式证明中的应用例3.11对任意实数，有证明：设，则，所以当时是凸函数，由凸函数的定义，令，，有即例3.12当，时有证明：设，，则，则在上是凸函数。令，则，则Word文档.得即用替换即得3.2凸函数在积分不等式证明中的应用例3.21设是区间上的凸函数，则（Hadamard）证明：由于是区间上的凸函数，所以存在，且当时有故即而令得Word文档.则从而作变换，则有从而综上所述3.3凸函数在几个重要的不等式证明中的应用例3.31

8、上例中Hadamard不等式。例3.32霍尔德（Holder）不等式设，，，则其中，。证明：考虑函数，，显然（），则是上的凸函数，则对所有的，且有即Word文档.取，，则显然有代入（*）式得又因为，两边同时乘以可得，即，从而上述不等式可化为即则不等式得证。当时，即为柯西不等式例3.33闵可夫斯基（Minkowski）不等式若，，则多任意给的正实数，（）有证明：由霍尔德不等式得Word文档.因为，而，则，从而又因为，则不等式成立4．凸函数的局