凸函数在不等式中的证明.doc

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1、凸函数在不等式中的证明1.函数的定义及其常见的凹凸函数大家都熟悉函数的图像，它的特点是：曲线上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。我们可以下这样一个定义：设在上有定义，若曲线上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：定义1设在内连续，如果对内任意两点恒有那么称在内是凸函数.定义2设在内连续，如果对内任意两点，有则称在内是凸函数.以上若不等式的方向相反，则称在内是凹函数.1.1常见的凹凸函数有1.1.

2、1或,均为内的严格凸函数;1.1.2均为内的严格凸函数.1.2凸函数的常见性质及其判定定理性质1设为凸函数，为常数，则是凸函数：若是凸函数，则仍是凸函数：若是增凸函数，也是凸函数，则复合函数也是凸函数.性质2如果是上的凸函数，则在的任一闭子区间上有界.性质3如果是上的凸函数，则在内连续.定理1[1]是区间上的凸函数的充要条件是：对于满足的任意，有：定理2若在区间上二阶可微，则在上是凸函数的充要条件是：1.3凸函数的不等式1.3.1凸函数基本不等式设是内的严格凸（凹）函数，则对内的任意一组不全相同的值，必有不等式：1.3.2Jensen不等式Jensen

3、不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，它有如下两种形式：（1）设是内的凸（凹）函数，则对内的任意一组值及任意正数必有不等式：（2）设为上的可积函数，而则当为凸（凹）函数时有2.凸函数在证明不等式中的简单应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1设，证明：证明设，有，从而，函数在是严格凸函数，取有或即取同样方法，有于是，，有例2证明有上式称为算术平均不大于次平均，特别的，当，得到算术平均值不大于平方平

4、均值。证明考察函数由于有所以为凸函数，从而有在上式中，令即得例3若且，求证：Young不等式证明从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。不妨不等式两边同取自然对数，则有　　由此很容易找到合适的凸函数。考察函数，因为，由定理1知，在时为凸函数，因为有，所以于是　　即特别地，当时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。Young不等式在泛函分析，偏微分方程中应用很广.凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下。例4设，证明：证明取它是上的凸函数，由Jensen不等式，得所以特别的：（1）如果在

5、这个不等式中，令则得；（2）对于三角形的三个内角，有　　　　　　　例5设，证明：证明先将原不等式化为因为为上的凸函数，故当时，有令则而所以这道题目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数巧妙地令，便可很方便的证得.对于数学分析，泛函分析中的一些重要不等式，利用凸函数也可以建立统一框架，简捷方便地进行证明.例6设在上可积，是上的凸函数，则证明由Jensen不等式，有令则有由于可积，为凸函数，故可积.上式中令取极限，即得到特别的，若在上连续，且取则有　　　　前例结合凸函数的定义，可得Hadamard不等式：设是区间上的凸函数，则例7在上有一阶连续导数，则当时，

6、对有证明由积分形式的Young不等式，令,则,且则