资源描述：
《应用凸函数性质证明几个不等式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第20卷第4期商洛学院学报Vo1.20No.42006年12月JournalofShangluoUniversityDec.2006应用凸函数性质证明几个不等式张彦民(商洛学院数学系,陕西商洛726000)摘要:给出了两个一般的不等式,并用分析方法和凸函数的性质进行了证明.关键词:凸函数)性质)不等式)证明中图分类号:O122.3文献标识码:A文章编号:1008-3030(2006)04-0023-021定义和引理定义1设函数f(x)定义在区间I上,若对!x1,x2∈I,!λ∈[0,1]时,有f(λx1+(1-λ)x2)
2、#λf(x1)+(1-λ)f(x2),(1)称函数为区间I上的下凸函数,当不等号改为“$”时称为区间I上的上凸函数.定义2设函数f(x)定义在区间I上,若对!x1,x2∈I,有f(x1+x2)&f(x1)+f(x2)),(2)22称函数f(x)为区间I上的下凸函数,当不等号改为“$”时称f(x)为区间I上的上凸函数.文[1]、[2]给出的这两个定义各有所长,当我们已知函数f(x)为下凸(或上凸),并要利用f(x)的凸性去论证其它问题时,定义1可以提供较多的信息;而当我们需要验证f(x)为下凸(或上凸)函数时,定义1就显得
3、更为方便.引理1.1设f(x)为区间[a,b]上二阶可导函数,则f(x)为区间[a,b]上下(上)凸函数的充要条件是[1-3]在[a,b]上.f″(x)$0(f(x)&0)(3)引理1.2(Jensen不等式)设为f(x)为[a,b]上的下凸函数,则对+!xi∈[a,b],!λi∈R(i=1,2,⋯,n)有f(λ1x1+λ1x2+⋯+λnxn)&λ1f(x1)+λ2f(x2)+⋯+λnf(xn)(n$2)(4)λ1+λ2+⋯+λnλ1+λ2+⋯+λn等号当且仅当x1=x2=⋯=xn时成立.当为f(x)上凸函数时,(4)中
4、的不等号反向.2定理及其证明+定理2.1设xi,λi∈R(I=1,2,⋯,n)则有1λ1λ2λnλ1+λ2+⋯+λnλx+λx+⋯+λx(xx⋯x)&1122nn(5)11nλ1+λ2+⋯+λn证明考虑函数f(x)=lnx(x>0),对!x1,x2∈(0,+∞),对不等式x1+x2$’x1x2(x1,x2>0),两边取对数,由对数的单调性得2lnx1+x2$lnx1+lnx2,由定义1知lnx在(0,+∞)上凸.22收稿日期:2006-10-18作者简介:张彦民(1958-),男,陕西商州人,商洛学院数学系副教授24商洛
5、学院学报2006年12月由(4)得,lnλ1x1+λ2x2+⋯+λnxn!λ1lnx1+λ2lnx2+⋯+λnlnxn=λ1+λ2+⋯+λnλ1+λ2+⋯+λn1λ1λ2λnλ1+λ2+⋯+λnln(xx·⋯·x).11n1λx+λx+⋯+λxλ1λ2λnλ1+λ2+⋯+λn由lnx的单调性有1122nn!(xx·⋯·x)11nλ1+λ2+⋯+λn定理2.1得证.+定理2.2设xi,λi∈R(i=1,2,⋯,n),若α<β则有ααα1βββ1λ1x1+λ2x2+⋯+λnxnαλ1x1+λ2x2+⋯+λnxnβ()#().
6、(6)λ1+λ2+⋯+λnλ1+λ2+⋯+λnμ证明考虑函数f(x)=x(x>0),当μ>1或μ<0时是下凸的.事实上,μ-2因为x>0,μ>1或μ<0时,f″(x)=μ(μ-1)x>0.所以f(x)当μ>1或μ<0时,在(0,+∞)上是下凸的.下对α,β分三种情况证明定理的结论.β(i)若α>β>0,则>1.αβα由于f(x)=x(x>0)下凸,由(4)有ββββααα(λ1x1+λ2x2+⋯+λnxn)α#λ1x1+λ2x2+⋯+λnxn,两边1次,λ1+λ2+⋯+λnλ1+λ2+⋯+λnβα并令xi=yi(i=1,
7、2,⋯,n),即得ααα1βββ1λ1y1+λ2y2+⋯+λnynαλ1y1+λ2y2+⋯+λnynβ()#(),即结论成立.λ1+λ2+⋯+λnλ1+λ2+⋯+λnα(ii)若α<β<0,则>1.βαβ1这时函数f(x)=x(x>0)下凸,类似(i)的证明,注意到α<0,给两边次方后不等号要变向,即得αααα1βββ1λ1x1+λ2x2+⋯+λnxnαλ1x1+λ2x2+⋯+λnxnβ()#().λ1+λ2+⋯+λnλ1+λ2+⋯+λnβ(iii)若α,β异号,即α<0<β,则<0,证明完全与(i)相同.于是α定理2.
8、2证完.1在不等式(5)中,若令xi=,λi=yi(i=1,2,⋯,n),便可推得如下重要的不等式:yiy+y+⋯+y12nyyyy+y+⋯+y12ny+y+⋯+y12nn12nyy·⋯·y!()!(yy·⋯·y)(7)12n12nn[4]在不等式(6)中,若取λi=1(1,2,⋯,n),可推得中幂平均不等式:ααα
